培養(yǎng)數(shù)學運算能力 落實數(shù)學核心素養(yǎng)

馬海嬌

[摘 ?要] 在高中數(shù)學教學中，部分教師為了追求“容量和速度”，常常形成思路后就不了了之，忽視了學生運算能力的培養(yǎng). 這樣不僅影響了學生成績的提升，而且限制了學生思維能力的發(fā)展，影響了學生數(shù)學核心素養(yǎng)的落實. 在實際教學中，教師應把培養(yǎng)學生的運算能力落到實處，通過適時講解、適當練習、有效思考，切實培養(yǎng)學生的運算能力，提升學生的解題效率.

[關鍵詞] 運算能力;思維能力;解題效率;核心素養(yǎng)

會運算是數(shù)學學習的基本任務之一，是學生在數(shù)學學習過程中必須養(yǎng)成的基本素質(zhì)和能力. 運算能力的高低直接關系著解決問題的效果，因此對運算能力的培養(yǎng)應引起師生的共同關注. 不過在現(xiàn)實教學中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學運算并沒有引起師生的高度重視，不少教師認為數(shù)學運算是不需要思考的，思維價值較低，然課堂時間是有限的，應該將精力放在探尋解決問題的思路上，因此教學中教師常常帶領學生找到解題思路后就草草了事. 由于教師的不重視自然也就難以引起學生重視，很多學生認為只要記住運算公式和運算法則，考試時能夠認真計算就可以了. 為了做更多的題，大多數(shù)學生很少將運算進行到底，常常用計算器代替心算和筆算，最終使得學生算理混亂、算法模糊，考試時常因運算出現(xiàn)問題而失分，影響了考試效果. 筆者結(jié)合一些具體案例，淺談幾點對數(shù)學運算能力培養(yǎng)的認識，以期拋磚引玉，引起共鳴.

[?]抓基礎重落實，培養(yǎng)運算能力的前提

熟練地、準確地掌握數(shù)學運算所需的概念、公式、定理、法則是培養(yǎng)學生運算能力的前提. 教師需要從解題過程中發(fā)現(xiàn)學生運算錯誤的癥結(jié)，以便采取有針對性的教學策略加以引導，從而達到梳理、鞏固和強化的目的. 另外，教師要鼓勵學生將運算進行到底，切勿走馬觀花，以此培養(yǎng)學生良好的數(shù)學解題習慣.

例1 已知數(shù)列{a}是等比數(shù)列，其前n項和為S，若S，S，S成等差數(shù)列，則公比q的值為______.

解此題時，大多數(shù)學生直接從等比數(shù)列的前n項和公式出發(fā)，試圖通過“硬算”來解決，但因為運算過程煩瑣，最終無功而返. 另外，在解題中發(fā)現(xiàn)，部分學生應用公式時容易忽視公比q=1的情形，可見他們對概念的理解還不夠深刻.

為了幫助學生順利解決問題，教師引導如下：列出等式2S=S+S，回顧數(shù)列前n項和公式，于是有2S=S+a+S+a+a，整理得2a+a=0，所以q=-2. 這樣應用概念靈活地化解了復雜的運算，讓學生體驗到了數(shù)學概念在運算中的價值.

對于學生運算能力的培養(yǎng)并不是讓學生經(jīng)歷多么復雜的運算過程，而是讓學生能夠靈活應用知識和經(jīng)驗巧妙地解決問題. 在解題過程中，要避免盲目運算，應多觀察、多分析，靈活調(diào)整運算方案，以此高效解決問題.

[?]突出數(shù)學思想方法，培養(yǎng)運算能力的關鍵

雖然數(shù)學問題是抽象且復雜的，但是數(shù)學問題中蘊含著一定的規(guī)律、方法. 在解題教學中，應重視學生觀察能力、分析能力、推理論證能力等綜合能力的培養(yǎng)，突出數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般和由一般到特殊等數(shù)學思想方法的價值，培養(yǎng)學生良好的解題習慣. 數(shù)學思想方法是數(shù)學發(fā)展和創(chuàng)造的源泉，其關系著學生對數(shù)學知識的理解層次，是培養(yǎng)學生運算能力的關鍵.

例2 設t∈R，若x>0時，均有（tx-1）[x2-（t+1）x-1]≥0，則實數(shù)t的值為______.

對于例2，若單純從解不等式的角度去思考，則需要進行分類討論，對中間環(huán)節(jié)的理解以及涉及的運算都比較煩瑣，對運算能力的要求較高. 因此解題時不妨引導學生多觀察，從式子的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)進行解決：不等式左邊為兩個因式相乘，由此可以將其轉(zhuǎn)化為對應的函數(shù)，借助數(shù)形結(jié)合思想使問題變得直觀起來，這樣解題自然就變得流暢了. 令f（x）=tx-1，g（x）=x2-（t+1）x-1，設g（x）的兩個零點是x1，x2，且x<00，f（x）的零點也為x時，不等式恒成立，將x=代入g（x）=0，得

t-

（t+1）=0，故t=.

從以上分析過程可以看出，對于同一問題可以有不同的解決方案，不同的解決方案對運算量的要求有所不同，因此在解題教學中，教師要告訴學生不要急于落筆，應多觀察、多分析，以便學生發(fā)現(xiàn)適合自己的最優(yōu)解題方案，有效提高解題效率. 同時，在解題教學中，講授知識的同時應關注數(shù)學思想方法的訓練和培養(yǎng)，這對學生的數(shù)學學習和數(shù)學研究都有重要的指導意義，有利于提升教學品質(zhì)和學生的數(shù)學素養(yǎng).

[?]強化目標意識，是提升運算能力的重要舉措

無論是平時測驗還是大考，都經(jīng)常發(fā)現(xiàn)試卷上有很多刪改的痕跡，出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主因就是學生在解題時沒有明確的運算方向和運算路徑，常常是想到哪里就算到哪里，最終不僅浪費了時間，而且可能一無所獲. 因此，在解題教學中，必須強化學生的目標意識，這樣在目標的指引下才能少走彎路，有效提高解題效率.

例3 如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，橢圓+=1（a>b>0）的左頂點為A，右焦點為F（c，0），點P（x，y）為橢圓上一點，且PA⊥PF. 求證：以F為圓心，F(xiàn)P為半徑的圓與橢圓的右準線x=相切.

題目給出后，學生很快寫出了如下解題過程：由PA⊥PF，得·=-1，即y=-（x+a）（x-c）①. 又+=1②，聯(lián)立①②，消去y，整理得關于x的二次方程（b2-a2）x-a2（a-c）x+a3c-a2b2=0. 下一步學生準備利用求根公式解方程，但是這無疑陷入了復雜運算，很多學生計算到這里望而卻步. 教師及時捕捉到了學生的問題后，讓學生思考這樣兩個問題：①你到底要求什么？②怎么求？這樣引導學生深入觀察需要研究的問題，及時調(diào)整運算路徑，以便達成目標.

通過深入觀察易于發(fā)現(xiàn)，以AF為直徑的圓與橢圓除了點P這個公共點外，還有一個公共點A（-a，0）. 這樣在關于x的二次方程中，一定有（x+a）這個因式，于是消去y后得b2x+a2[-（x+a）（x-c）]-a2b2=0，即b2（x+a）（x-a）+a2[-（x+a）（x-c）]=0，有（x+a）

x+

=0，解得x=或x=-a（舍去）.

這樣，在解題時放慢腳步，挖掘特征，讓學生擺脫復雜的運算，不僅讓學生的解題技巧得以提高，而且讓學生的思維水平也獲得了較大程度的提升. 可見，想得好才能算得好，因此在運算前設計好運算路徑，可以有效規(guī)避復雜運算所帶來的錯解風險，有利于提高解題準確率.

[?]樹立求簡意識，是提升解題效率的“助推器”

數(shù)學運算除了關注運算的結(jié)果外，還要重視運算方向的確定和運算路徑的選擇. 在解題教學中，除了要求結(jié)果正確外，還應讓學生通過思考、探索、交流等多種途徑去探尋其他的解決方案，讓學生通過對比發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的解決方案，以此豐富學生的解題經(jīng)驗，提高解題效率.

例4 已知過原點O的動直線l與圓C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A，B，若A恰為線段OB的中點，則圓心C到直線l的距離為________.

本題有一定難度，解題時教師應鼓勵學生通過合作探究找到不同的解決方案，以此優(yōu)化學生認知.

解法1：根據(jù)已知，設動直線l的方程為y=kx，代入圓方程得（1+k2）x2-6x+5=0. 又點A恰為線段OB的中點，所以x=2x. 利用求根公式得x·x=，x+x=，計算得k=，求得圓心C（3，0）到直線l的距離為.

解法1的思維直接，但是運算量較大，對學生的運算準確率要求較高，可操作性不強，大多數(shù)學生很難正確得到答案，即使最終得到答案也會花費較多時間. 本題是一個小題，若在考試中這樣大費周章地運算勢必會影響后面的考試，因此解題時有必要尋找其他的解決方案，樹立求簡意識.

分析以上解題過程后，不妨換個思路：

解法2：設點A（x，y），則點B（2x，2y），代入圓的方程得x

+y

-6x0+5=0，

4x

+4y

-12x0+5=0，解得點A

，

. 因此圓心C（3，0）到直線l：y=x的距離為.

解法2表面上引入了兩個變量，但是其充分利用了“A恰為線段OB的中點”和“點A，B為圓兩點”這兩個已知條件，這樣不僅快速地形成了解題思路，而且簡化了運算過程，有利于提高解題效率和解題準確率.

在教學中，教師要多鼓勵學生從不同的角度去思考和解決問題，通過一題多解不僅可以鍛煉學生的思維，提高學生的思維水平，而且可以優(yōu)化運算過程，提高學生的數(shù)學運算能力.

當然，由于個體差異的存在，學生的解題習慣也會有所不同，因此追求運算簡化的同時，也要關注學生個體的思維水平，引導學生找到適合自己的解題之路.

總之，教學中教師要關注學生的運算能力，把運算能力的培養(yǎng)滲透到每道試題的解答中，從而通過適時引導、講解、訓練，切實有效地提高學生的運算能力，落實其數(shù)學素養(yǎng).