運(yùn)用SOLO分類理論 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

劉洋洋 李長輝

［摘? 要］ SOLO分類理論是一種具有層次性的量的測評與質(zhì)的考查相結(jié)合的評價(jià)理論，根據(jù)SOLO分類理論教師不僅可以評價(jià)學(xué)生所處的思維技能水平和對知識的掌握情況，還可以檢測自己的教學(xué)效果和審視自己的教學(xué)行為.SOLO分類理論對初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有指導(dǎo)作用. 運(yùn)用SOLO分類理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和選擇合適的教學(xué)策略，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.

［關(guān)鍵詞］ SOLO分類理論；初中數(shù)學(xué)；思維技能水平；評價(jià)

SOLO分類理論的基本觀點(diǎn)

“SOLO”全稱為“Structure of the Observed Learning Outcome”，是由澳大利亞教育心理學(xué)家John B.Biggs和Kevin F.Collis在皮亞杰發(fā)展階段論基礎(chǔ)上建立的一種新的學(xué)習(xí)質(zhì)量評價(jià)理論——SOLO分類理論. 他們認(rèn)為一個(gè)人的總體認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一個(gè)純理論性的概念，是不可檢測的，而一個(gè)人回答某個(gè)問題時(shí)所表現(xiàn)出來的思維結(jié)構(gòu)卻是可以檢測的，彼格斯（Biggs）稱之為“可觀察的學(xué)習(xí)成果”［1］.

根據(jù)SOLO分類理論，彼格斯把學(xué)生對某個(gè)問題的學(xué)習(xí)結(jié)果由低到高劃分為五個(gè)水平［2］，如圖1（彼格斯給出的圖解）.

SOLO分類理論在初中數(shù)學(xué)中的一般應(yīng)用

SOLO分類理論依據(jù)學(xué)習(xí)結(jié)果對學(xué)生的思維水平和對知識的掌握情況進(jìn)行分析、評價(jià)和把握，有很強(qiáng)的實(shí)踐性和可操作性. 下面，筆者運(yùn)用SOLO分類理論對中考數(shù)學(xué)試題和學(xué)生解題過程進(jìn)行分析、評價(jià).

（一）運(yùn)用SOLO分類理論分析中考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)

在2021年海南省中考數(shù)學(xué)備考分析會上，海南中學(xué)的房一登老師對海南省2020年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)科試卷的題型結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析（見表1），基礎(chǔ)題∶中等題∶較難題=7∶2∶1，符合中招考試出題的結(jié)構(gòu)要求.

（2020年海南·中考）第1題：實(shí)數(shù)3的相反數(shù)是（? ）.

A. 3? B. -3? C. ±3? D.

（2020年海南·中考）第6題：如圖2，已知AB∥CD，直線AC和BD相交于點(diǎn)E，若∠ABE=70°，∠ACD=40°，則∠AEB等于（? ）.

A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°

簡單題中的選擇題第1題，只考查了“相反數(shù)”一個(gè)知識點(diǎn)，僅應(yīng)用一個(gè)知識點(diǎn)即可解決問題. 而簡單題中的選擇題第6題，考查了兩個(gè)知識點(diǎn)：“兩直線平行的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和.”第7、第10、第17、第18、第19（2）（3）、第20（1）、第21（1）、第22（1）也同樣需要應(yīng)用兩個(gè)或兩個(gè)以上獨(dú)立的知識點(diǎn)解決問題. 所以根據(jù)SOLO分類理論，試卷中的簡單題可劃分為單一結(jié)構(gòu)水平和多元結(jié)構(gòu)水平，中等題可劃分為關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，難題可劃分為拓展抽象結(jié)構(gòu)水平，具體劃分如表2.

從以上分析不難看出該試卷主要集中考查單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次，選擇題SOLO層次考查單一，非選擇題SOLO層次考查多元化. 總體而言，試題對學(xué)生思維技能水平考查適中，注重構(gòu)建知識點(diǎn)之間的聯(lián)系并加以應(yīng)用，較好地反映了數(shù)學(xué)學(xué)科對學(xué)生思維技能水平培養(yǎng)的要求，為教師準(zhǔn)確把握初中數(shù)學(xué)教學(xué)方向提供了參考.

其實(shí)任何一份數(shù)學(xué)試卷都蘊(yùn)含著SOLO分類理論，只是教師未從其角度進(jìn)行分析和評價(jià). 若運(yùn)用SOLO分類理論編制試卷或運(yùn)用SOLO分類理論對已有試卷結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃分，就可以從學(xué)生試卷的答題情況推斷學(xué)生所處的思維技能水平和對知識的掌握情況，避免了只憑分?jǐn)?shù)評判學(xué)生的問題.

（二）運(yùn)用SOLO分類理論分析學(xué)生解題過程

學(xué)生數(shù)學(xué)解題過程的書寫是“可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果”，過程書寫的條理性和邏輯性更能反映出學(xué)生數(shù)學(xué)思維所達(dá)到的水平. 筆者參加了海南省2020年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)科評卷工作，評的是第22題（二次函數(shù)綜合問題）. 筆者以此題為例，根據(jù)學(xué)生答題情況，用SOLO分類理論來分析、評價(jià)學(xué)生的思維技能水平.

（2020年海南·中考）第22題：拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且位于y軸的左側(cè).

①如圖3，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，作PE⊥y軸于點(diǎn)E，當(dāng)PD=2PE時(shí)，求PE的長.

②如圖4，該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠ACP=∠OCB？若存在，請求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

前結(jié)構(gòu)水平：學(xué)生出現(xiàn)抄原題和答非所問的現(xiàn)象，或是只有一點(diǎn)關(guān)于此類題的知識經(jīng)驗(yàn)，猜想b和c的值后得出一個(gè)與此題無關(guān)的二次函數(shù)解析式. 單一結(jié)構(gòu)水平：學(xué)生能將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，但就此收斂，沒有聯(lián)想到二元一次方程組或是因二元一次方程組求解經(jīng)驗(yàn)不足而放棄.

多元結(jié)構(gòu)水平：學(xué)生能解決問題（1），能根據(jù)（1）中的拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P 的坐標(biāo)，但不能用坐標(biāo)正確地表示出線段PD和PE的長度或因求解二元一次方程計(jì)算能力不足而出錯(cuò).

關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平：學(xué)生可以根據(jù)（1）中的拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)并引入?yún)?shù)，能根據(jù)線段長度PD=2PE的關(guān)系得到方程進(jìn)行求解，能根據(jù)P點(diǎn)可能在第三象限或第二象限進(jìn)行分類討論，能求出PE長度.

拓展抽象結(jié)構(gòu)水平：學(xué)生能根據(jù)問題（2）第②題中∠ACP=∠OCB的條件及∠OCB在Rt△OCB中且其三邊長度都是已知的，聯(lián)想到把∠ACP也放在直角三角形中，得到過點(diǎn)A作直線PC垂線的方法，在應(yīng)用三角形相似、已知兩點(diǎn)求直線解析式和求直線與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)的知識求出P點(diǎn)坐標(biāo). 除此常規(guī)做法之外，有的學(xué)生還發(fā)現(xiàn)∠OCB和∠ACO都是直角三角形，正切值已知，于是過點(diǎn)P作x軸或y軸平行線，應(yīng)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行求解.

由上述分析可以看出，SOLO分類理論焦點(diǎn)集中在“質(zhì)”而非“量”，它是從心理學(xué)角度來評價(jià)學(xué)生思維水平所能達(dá)到的深度和廣度，它描述的是學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，反映的是學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量等級. 它不是告訴教師通過一個(gè)具體結(jié)果該如何劃分學(xué)生，而是為教師提供了一個(gè)評價(jià)學(xué)生思維技能水平的思路和依據(jù). 因此，教師可以根據(jù)學(xué)生試卷的答題情況和學(xué)生解決某個(gè)具體問題時(shí)所提供和利用知識以及知識之間的聯(lián)系，進(jìn)而推斷學(xué)生所處的思維技能水平和對知識的掌握情況.

SOLO分類理論對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用

評價(jià)的目的不是為了劃分等級和選拔優(yōu)秀者，而是為了學(xué)生的成長和教師的發(fā)展. 教師運(yùn)用“SOLO”分類理論分析、評價(jià)學(xué)生，不僅可以較好地掌握學(xué)生思維技能水平、學(xué)習(xí)需求，助推學(xué)生思維水平向高階發(fā)展，還可以檢測自己的教學(xué)效果和審視自己的教學(xué)行為. 所以SOLO分類理論對初中數(shù)學(xué)教學(xué)有啟示、指導(dǎo)的作用，教師可以根據(jù)SOLO分類理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和選擇合適的教學(xué)策略.

（一）根據(jù)SOLO分類理論設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)SOLO分類理論對教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的思維水平進(jìn)行分析，可以細(xì)化設(shè)計(jì)出更有針對性、層次性和符合學(xué)生思維遞進(jìn)發(fā)展規(guī)律的教學(xué)目標(biāo).

例如，“代數(shù)式的值”是學(xué)生在繼“列代數(shù)式”之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，課標(biāo)的要求是“了解代數(shù)式值的意義，能準(zhǔn)確求出代數(shù)式的值”，過于籠統(tǒng)簡略，于是根據(jù)SOLO分類理論可細(xì)化、分層設(shè)計(jì)如下教學(xué)目標(biāo)（如表3）.

教學(xué)目標(biāo)是教師的課前設(shè)定，課后教師一定要根據(jù)學(xué)生作業(yè)、練習(xí)、測試等落實(shí)教學(xué)目標(biāo)完成情況. 這需要教師根據(jù)SOLO分類理論布置作業(yè)、練習(xí)或者根據(jù)SOLO分類理論編制試題或?qū)σ延性囶}結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃分.

SOLO分類理論反映的是學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量而非發(fā)展階段，彼格斯提出“學(xué)習(xí)周期”的概念，也就是說，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，SOLO分類理論中的五個(gè)思維技能水平是不斷反復(fù)出現(xiàn)的［4］. 例如學(xué)生在學(xué)習(xí)“有理數(shù)加減法”時(shí)可能表現(xiàn)出較高層次思維技能水平，而在學(xué)習(xí)“代數(shù)式的值”時(shí)卻表現(xiàn)出困難或者很難拔高.所以根據(jù)SOLO分類理論設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)中每一節(jié)、每一單元、每一專題的教學(xué)目標(biāo)，再從學(xué)生目標(biāo)完成情況角度出發(fā)，可以讓教師更加準(zhǔn)確地、合理地、科學(xué)地對學(xué)生每一節(jié)、每一單元、每一專題的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行劃分，進(jìn)而開展更有針對性的分層輔導(dǎo)，讓處在不同思維技能水平的學(xué)生都能得到應(yīng)有的提高.

（二）劃分難度問題，設(shè)置合理坡度，助推學(xué)生思維水平向高階發(fā)展

葉瀾教授曾提到“好的數(shù)學(xué)問題是驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的有效載體，數(shù)學(xué)教師關(guān)注數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中的問題設(shè)置是新基礎(chǔ)教育成功的關(guān)鍵指標(biāo)之一”［4］. 問題設(shè)置的主要目的是引導(dǎo)學(xué)生思考的方向，激發(fā)學(xué)生解決問題的積極性. 因?yàn)閷W(xué)生知識基礎(chǔ)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維能力等方面存在差異性，對某一問題有的學(xué)生會覺得簡單、有的學(xué)生會覺得難，這都會影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 為了讓各個(gè)層次的學(xué)生都能參與其中，都能有所收獲，教師可以根據(jù)SOLO分類理論將某一有難度的問題進(jìn)行劃分，分為4個(gè)層次水平，設(shè)置合理的坡度，助推學(xué)生從較低思維結(jié)構(gòu)向更高層次思維水平發(fā)展.

例如，“代數(shù)式的值”課后習(xí)題是擺放餐桌和椅子的問題（如圖5），根據(jù)SOLO分類理論，教師可以為各個(gè)思維水平層次的學(xué)生設(shè)置如下問題：

（1）單一結(jié)構(gòu)水平：3張餐桌需要多少把椅子？（學(xué)生從圖中數(shù)一數(shù)即可）

（2）多元結(jié)構(gòu)水平：若有4張餐桌需要多少把椅子？（學(xué)生按照規(guī)律畫出圖形再數(shù)出數(shù)量即可，不必理解整體結(jié)構(gòu)）

（3）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平：每多1張餐桌需多擺放多少把椅子？餐桌左右椅子數(shù)量是否有變化？（學(xué)生找到每多1張餐桌需多擺放4把椅子，餐桌左右椅子數(shù)量無變化的規(guī)律，就需對各個(gè)圖形信息之間的關(guān)系有所認(rèn)識）

（4）拓展抽象結(jié)構(gòu)水平：n張餐桌可以放多少把椅子？（學(xué)生需脫離具體圖形、數(shù)字，抽象得出一般結(jié)論4n+2）

除此之外，同學(xué)們有解決此問題不同的方法嗎？（1張餐桌放6把椅子，每多1張餐桌需多擺放4把椅子，則有一般結(jié)論6+4（n-1）.得出一般結(jié)論后再讓學(xué)生解決第（2）個(gè)問題就會很容易）

增加到100張、1000張餐桌呢？讓學(xué)生感受到用字母表示數(shù)和從數(shù)學(xué)的角度找到、表示出事物的一般規(guī)律對人們實(shí)際生活的意義，從而激發(fā)學(xué)生想學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力.

其中“拓展思維結(jié)構(gòu)水平”不局限于題目本身，可進(jìn)行變式，如將本題餐桌改為豎著擺放：每張桌上下各放1張，前后兩頭各放2張，則n張餐桌可以放多少把椅子；或提煉題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法等，如通過這道題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、體會數(shù)學(xué)中由具體到抽象、由特殊到一般再到特殊的數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生初步建立數(shù)學(xué)建模思想等.

（三）把握學(xué)生思維的前結(jié)構(gòu)水平，注重?cái)?shù)學(xué)知識的“實(shí)際意義”

前結(jié)構(gòu)水平是指學(xué)生在學(xué)習(xí)新知之前，頭腦中已有的知識結(jié)構(gòu)，如已有的知識基礎(chǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)、情感體驗(yàn)等. 這些已有的前結(jié)構(gòu)性知識，有的能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有的反而阻礙學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 所以教師在教學(xué)前不僅要對數(shù)學(xué)本體性知識進(jìn)行研究，還要聚焦學(xué)情，把握學(xué)生思維的前結(jié)構(gòu)水平，注重?cái)?shù)學(xué)知識的“實(shí)際意義”，將其由具體到抽象進(jìn)行過渡.

例如，很多剛步入初中的學(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，有扎實(shí)的小學(xué)四則運(yùn)算基礎(chǔ)，但在學(xué)習(xí)“有理數(shù)的加減法”時(shí)，對法則“有理數(shù)加法法則中有減法，而減法法則中又有加法”不理解，導(dǎo)致錯(cuò)誤頻發(fā). 學(xué)生的困惑不在于法則，而是缺乏由生活中的具體“賠2元”到數(shù)學(xué)中抽象的“-2”的認(rèn)識遷移抽象能力. 這時(shí)教師就應(yīng)改變教學(xué)策略，從學(xué)生思維的前結(jié)構(gòu)水平出發(fā)，利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和正負(fù)數(shù)的實(shí)際意義，將其轉(zhuǎn)化為具有一定生活意義的實(shí)際問題. 例如計(jì)算（-3）+（+6）時(shí)，可以根據(jù)生活中“賠、賺”來進(jìn)行分析，“-3”表示第一次賠了3元，第二次賺了6元，那最后到底是賺了還是賠了？賺了多少元或賠了多少元？顯然是賺了3元，用+3來表示，所以（-3）+（+6）=+3，同理（+5）+（-7），（-2）+（-3）最后是賺了還是賠了？在學(xué)生理解基礎(chǔ)上進(jìn)行歸類，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度，用數(shù)學(xué)語言歸納得出有理數(shù)加法的法則，在讓學(xué)生利用法則進(jìn)行計(jì)算，從而加強(qiáng)學(xué)生對法則的理解和記憶，強(qiáng)化學(xué)生計(jì)算能力. 數(shù)學(xué)來源于生活，在于理解，而不是機(jī)械地運(yùn)用法則來模仿計(jì)算.

這里要注意“注重?cái)?shù)學(xué)知識的實(shí)際意義”并不是將數(shù)學(xué)課堂生活化，數(shù)學(xué)課堂的“主題”應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、用數(shù)學(xué)的思維、用數(shù)學(xué)的語言去發(fā)現(xiàn)、分析、描述、解決問題. “注重?cái)?shù)學(xué)知識的實(shí)際意義”只是數(shù)學(xué)課堂的“副題”，教學(xué)時(shí)不能只要“副題”而不要“主題”，更不能為了體現(xiàn)“副題”而忽略“主題”，它們應(yīng)是有機(jī)的結(jié)合. 例如上面“有理數(shù)的加法”這節(jié)課，通過生活化的教學(xué)，學(xué)生已基本會運(yùn)算，但教師不能止步于此，更不能直接給出有理數(shù)加法法則，而是要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言總結(jié)規(guī)律將其抽化為數(shù)學(xué)知識，在此基礎(chǔ)上再回歸生活，讓學(xué)生應(yīng)用其解決生活中的實(shí)際問題，這樣不僅體現(xiàn)了“副題”，還可以讓學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活.

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