基于理解的初中數學概念深度學習策略

孔春芳

［摘 ?要］ 章建躍博士曾說，教數學根本上就是教概念的. 可見概念教學在數學教學中的重要性，而數學概念的理解對學生抽象思維的要求較高. 目前，我國初中數學教學的一個狀況是，大多數數學教師對數學概念教學的追求是“一個概念，三項注意，幾個例題，大量練習”的應試模式. 造成這種現狀的主要原因有以下幾點：①教師的觀念陳舊，基本功較差；②教師的重心錯位，教學的時效性差；③很多概念較抽象，學生有恐懼心理. 因此，文章探討了基于理解的初中數學概念深度學習策略.

［關鍵詞］ 理解；數學概念；深度學習；策略

理解是學習者探究事實意義的結果，教育中怎樣強調概念理解的重要性都不過分. 理解既是智慧而有效地使用知識和技能，又是努力后了解的結果. 真正的理解，包含另一種形式的遷移，可遷移的理解是評估學生在不同情境中審慎且有效應用知識的能力，理解的6個側面“解釋、闡明、應用、洞察、神入、自知”表現了遷移的能力. 知識只需要獲取，但理解必須是領悟. 傳統的概念教學有兩個誤區，一是只動手不動腦的活動導向設計，二是灌輸式學習設計. 學生根據教材或教師的講授、在規定時間內學習內容，兩種類型的概念教學，學生能領悟哪些相關知識呢？因此UbD逆向設計了三個階段：先確定預期的結果，再確定合適的評估依據，最后設計學習體驗. 這樣的前后順序，有效確保了整個教學環節，始終圍繞教學重點，既提高了設計的協調一致性，又提高了教學的有效性. 下面筆者將探究基于理解的初中數學概念深度學習策略.

概念引入，分為四種概念引入類型

（1）由生活實例引入. 數學源于生活又服務于生活，比如負數的引入，在我們的日常生活當中，實際上都不乏用負數表示的現象. 如電梯上表示樓層有1，2，-1，-2，…；再如冬天的某城市最低溫度是-3 ℃，冰箱的冷凍室是-18 ℃. 這些負數的意義是什么呢？小學生都不難理解. 因此一句話“像-1，-2這樣的數就叫做負數”就引入了概念. 但如果這樣去傳授負數概念，那么學生就會失去很多. 實際上，我們應該先讓學生感受到現實世界充滿了具有相反意義的量，從而認識到數學與人類生活的密切聯系. 那么，為什么要引進負數？為什么要這樣表示？負數的現實意義和文化價值是什么？我們可以展現給學生負數產生、發展的歷史，讓學生體驗到數學活動充滿著探索和創造，從淺顯的知識中挖掘出深刻的內涵，這樣學生才會深刻地理解負數的含義，在書寫和計算時負號才不容易丟失.

（2）由概念背景引入. 比如平方根概念：求平方根是平方運算的逆運算，也是對今后學習二次根式的預備知識，還是應用直接開平方法解一元二次方程的重要依據. 平方根概念處于非常重要的地位，起著承前啟后的作用. 平方根概念本身較難理解，更源于對根號的極度陌生，在代數符號的發展中，隱含了結構性概念的逐步演化，使得符號形式可以結構性地用來作為概念的一部分，正是這種符號的發展，以及代數概念具有抽象的結構性特征，導致了概念學習的障礙. 傳授平方根概念時，如果直接給出概念，學生并不理解平方根前面為什么要加正負號，不能識別符號語言的基本屬性以及其所表示的數學對象. 因此，應該首先引導學生通過求面積為4的正方形的邊長是多少、面積為3的正方形的邊長是多少、面積為2的正方形的邊長又是多少，理解到：如果把正方形的邊長設為x，像x2=2或x2=3或x2=4這樣的x是客觀存在的，并且可以借助計算機知道它的近似值，這樣的數是無限不循環的. 為了進一步研究這樣的數的運算性質，我們設法用符號“”來表示. 比如n個a相乘記作an，a的平方根就表示為±. 再通過一些實例讓學生自己歸納正數、0、負數的平方根的情況，然后介紹開平方.

（3）由問題引入. 比如說方程，它是表達數量之間相等關系的“天平”，是刻畫現實世界的有效的數學模型. 方程的出現源于實際問題，要讓學生經歷“問題情境—建立數學模型—解釋、應用與拓展”這樣的方程學習過程，體會方程的應用價值. 問題情境要從學生的生活實際出發，比如蘇科版“一元一次方程”的“章起始課”中就創設了“天平稱小球”“籃球比賽得分情況”以及“小紅和爸爸的年齡問題”等與學生生活相關的情境，激發了學生的學習興趣，讓學生感受到方程源于生活，又是解決實際問題的好工具. 然而有些教師總認為，進入方程學習如果首先從問題出發太煩瑣，為了讓學生認識方程的特征，給出幾個方程讓學生辨認一下就可以了，忽略了概念的生成過程.

（4）從舊知識與新知識的關系引入，溫故而知新. 比如說平行與垂直：學生在小學里已從生活實例中引入了平行和垂直的概念，以及平行線和垂線的畫法；但小學里沒有介紹平行和垂直的表示方法，以及平行線和垂線的基本性質（基本事實）. 因此，課程中要強化平行線和垂線的表示方法，并通過觀察、操作、思考等活動探索平行線和垂線的基本性質（基本事實），從內部感知平行線的存在性、唯一性（有且只有）. 要引導學生用比較規范的語言來表達所發現的事實，這樣有利于提高學生的理解水平和有條理的能力.

概念的講解，方法是數學的行為，思想是數學的靈魂

可以從以下幾種數學思想方法進行：

1. 類比法

在數學中，類比法是最通俗易懂且基于學生的最近發展區便于應用的數學思想方法之一. 在初中數學教學的方方面面都發揮著積極的作用. 類比法是發展概念、定理、公式的重要手段，是提出新問題和猜想的重要方法，更是探索問題、解決問題的好工具. 比如學習角平分線的概念可以類比線段中點的概念，角平分線的符號語言也可以類比線段中點的符號語言，角平分線的性質以及逆定理都可以通過線段的中垂線的性質和逆定理進行類比學習. 利用知識遷移，可以讓學生自行歸納和總結關于角平分線的相關概念，能使學生的理解更清晰.

2. 數形結合法

“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”比如絕對值概念對于剛進入初中的學生而言，理解起來還是比較抽象的. 蘇科版七年級上冊是把絕對值概念分為兩課時來陳述的，先陳述的是它的幾何意義，揭示了絕對值的“非負性”；再陳述的是它的代數意義，揭示了一個數的絕對值與該數的關系. 先陳述幾何意義，就是讓學生通過一個數到原點的距離來直觀地理解絕對值的概念. 理解了絕對值的幾何意義，再通過分類討論就不難理解它的代數意義了；理解了“到原點的距離”表示一個數的絕對值，對于絕對值的變式拓展也不難理解了. 比如求x-1的最小值，求x-1+x+2的最小值，求x-1+x+2+x-3的最小值，等等，都是通過畫數軸、用兩點之間的距離來解決的.

3. 變抽象為具體

例如，2020年蘇州市初二陽光水平測試中的一道題：

如圖1所示，用x表示A中的實數，y表示B中與x對應的實數，且y與x滿足一次函數y=kx+b（k，b為常數，k≠0）.

（1）π是A中的實數，則B中與之對應的實數是________；

（2）點（a2+1，2-a2）在該函數的圖像上嗎？請說明理由；

（3）若點P（a，2a-3）到直線y=kx+b的距離是，求a的值.

這道題重點考查的是一次函數概念. 函數教學中應該選取多個具體實例，使學生能夠體會函數是描繪客觀世界變化規律的一個重要模型. 對初中學生來講，豐富的實例會給他們留下怎樣的印象呢？筆者認為，實例讓學生在體會函數反映事物變化規律的同時，會使學生產生一些錯覺. 比如自變量不同，因變量也不同，而函數值也會隨著自變量的變化而變化. 確定因變量與自變量的關系法則是有規律的，這個規律總可以用一個式子描述出來，但我們知道這些都不是函數的本質——變化不是函數的本質，可以用式子表達出來也不是函數的本質，對應才是函數的本質. 只有抓住了這個本質進行函數概念教學，才能讓學生理解“對應關系”，理解函數.

概念的鞏固

1. 通過數學實驗進行概念鞏固

用數學實驗可以引領數學概念的理解性教學. 比如蘇科版七年級上冊“無理數”的概念教學，如果直接給出無理數的概念，是非常抽象和不能理解的，可以設計數學實驗環節來增強學生對無理數概念的理解. 比如利用拼圖活動將四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，求其邊長是多少；將兩個邊長為1的小正方形，沿一條對角線剪開后重新拼成一個大正方形，求其邊長是多少、面積是多少. 然后繼續追問：若設它的邊長為a，則a2=2，你認為a是有理數嗎？可能是整數嗎？a可能是分數嗎？接著通過計算排除a是整數和分數的可能性：知道12=1，22=4，32=9，所以a不是整數；計算，，，，，，…的平方，用這種“逼近法”讓學生在探索的實驗活動中體會“無限”的過程（找不到一個分數的平方等于2，排除a為分數），從而引出無理數的概念，引導學生感悟無理數的客觀存在性，為八年級上冊“實數”的學習、進一步認識無理數奠定基礎.

2. 可以通過變式訓練使學生從不同的側面理解概念的本質屬性

以乘法公式中的完全平方公式為例，傳統的教學模式是先用代數方法得到公式帶給學生，然后展現幾何直觀的無字證明圖形，僅作了解幾何背景的用途. 學生知道多項式與多項式相乘歸納出乘法公式，但找到公式規律后，如何運用公式以及如何圖證公式是毫無印象的，對圖形與公式的聯系不甚理解，沒有掌握數形結合思想，無法理解公式中的數如何轉化為形，無法充分利用圖形證明公式，這些方面都無法突破. 因此筆者認為，可以用幾何方法來引形助數，然后用多項式與多項式相乘的法則驗證公式，再介紹公式的名稱并用文字語言進行敘述，最后讓學生觀察公式并找出公式的特征. 完全平方公式具有“首平方，尾平方，兩數乘積中間放”的特征，可以這是一個非常具有對稱性的特征，讓學生感受公式的對稱美. 對于公式的變式運用，以及公式的拓展，可以對它進行底數和指數的變形：一是對底數進行變化，即逐漸增加字母，如（a+b+c）2，這里就要體現整體思想的運用，將a+b或b+c看作一個整體進行運算，梳理出完全平方公式的拓展形式，在此基礎上引導學生繼續學習（a+b+c+d）2，并讓學生嘗試用文字語言描述規律——幾個數和的平方等于這幾個數的平方加上它們的每兩項積的兩倍，讓學生再次對比符號表述與語言表述的不同，感受到有些時候用文字語言表述某些乘法公式或運算性質也是比較簡潔的. 二是對指數進行變化，即把次數“2”逐漸增加為“3，4，…，n”，這時就可以通過前幾個式子的運算嘗試找出公式的規律. 當然，這是高中的二項式定理，對于初中生來講是有困難的. 此時，介紹一下“楊輝三角”就變得順理成章了. 這時對完全平方公式的對稱性的認識以及整個公式的驗證推理，學生就可以較好地掌握了. 在完全平方公式概念教學的設計上，可以通過“操作—探索—歸納—發現”帶給學生不一樣的心得和感受，若教師始終認真地“引”、嚴謹地“糾”，讓學生充分地思考，并與教材對話、與同伴對話，深度學習自然而然就發生了.

概念的運用

概念的運用需要經過從概念生成到概念理解這樣一個過程. 比如說勾股定理，計算兩點之間的距離和已知直角三角形的兩邊長求第三邊長等都是勾股定理的運用. 美國馬薩諸塞州綜合評估系統曾經統計過運用勾股定理是學生的短板. 運用勾股定理要求學生理解勾股定理，并將其遷移到新的問題情境中，然而很少有教師意識到，為了應試而讓學生反復進行練習其實是一種失敗的教學策略. 如果把a2+b2=c2當作事實來講授，當作一種計算規則，學生顯然就無法基于理解來牽引他們所學的知識了. 因此，基于理解的勾股定理概念的生成還是要以探索勾股定理的過程為基礎. 探索過程可以利用這樣的活動進行：活動一，可以利用方格紙中的格點，以直角三角形的三邊向外作三個正方形，猜想它們的面積的數量關系，感受數到形、形到數的聯想，感悟數與形的內在聯系. 活動二，利用方格紙讓學生自行設計一個直角三角形，每條邊向外作正方形，繼續探索三個正方形面積之間的關系，從大量的實驗數據中猜想直角三角形三邊的關系，這是合情推理的過程. 而從合情推理向演繹推理的過渡，就是一個難點；重點在于多種驗證方法的探索，引導學生較多地感悟數與形的完美結合，用多種方法來計算同一個圖形的面積，從而得到數量關系. 這樣的概念運用才會鞏固概念理解.

約翰·杜威在《我們如何思考》中對理解做了清晰的總結，他認為沒有概念生成的過程，就不能獲得任何知識的遷移，更不能對新體驗產生更好的理解. 數學概念高度凝結著數學家的思維，是數學家認識事物的思想結晶，蘊含了最豐富的創新教育素材. 因此，每位教師要在基礎課中講清楚數學概念，讓學生在理解的基礎上深度學習數學概念.