立足數(shù)學(xué)課堂，培養(yǎng)思維品質(zhì)

曹勇

[摘? 要] 著名的教育家裴斯泰洛齊提出，積累知識(shí)并非教育最重要的任務(wù)，教育最重要的任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的思維. 在新課改推行的當(dāng)下，教師都認(rèn)識(shí)到思維訓(xùn)練對(duì)學(xué)生的終身可持續(xù)性發(fā)展具有舉足輕重的影響. 文章認(rèn)為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的措施有：“一題多解”激發(fā)學(xué)生思維的廣闊性;“分類討論”培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性;“陷阱設(shè)置”促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性;“正誤辨析”培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性.

[關(guān)鍵詞] 思維;思維品質(zhì);課堂

數(shù)學(xué)思維是指人們對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象理性認(rèn)識(shí)的過程，思維能力的高低對(duì)課堂教學(xué)效率有著直接的影響. 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力要從思維品質(zhì)的培養(yǎng)上著手，只有形成良好的思維品質(zhì)，才能從真正意義上實(shí)現(xiàn)思維能力的提升. 筆者在近些年對(duì)如何在課堂中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及品質(zhì)進(jìn)行了大量的實(shí)踐與研究，并獲得一定的成效.

“一題多解”激發(fā)學(xué)生思維的廣闊性

數(shù)學(xué)思維的廣闊性是指學(xué)習(xí)者能從數(shù)學(xué)事物的不同層面與視角去觀察與分析問題，用多種辦法找出事物間的內(nèi)在聯(lián)系，避免因思維的片面性與局限性而導(dǎo)致解題障礙. 初中數(shù)學(xué)與小學(xué)相比，更具邏輯性與抽象性，有些學(xué)生遇到問題覺得答案呼之欲出，卻又無從下手. 因此，課堂中教師可通過變式訓(xùn)練、多題一解與一題多解等方式激發(fā)學(xué)生思維的廣闊性，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)領(lǐng)域中“條條道路通羅馬”的神奇魅力，在有效提高學(xué)生思維品質(zhì)的同時(shí)提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例1 如圖1所示，已知∠A，∠B，∠C分別為70°，40°，35°，求∠BDC的度數(shù).

本題題干簡(jiǎn)潔，條件與結(jié)論一目了然，學(xué)生讀題審題毫無障礙. 但看似簡(jiǎn)單的一道題，卻有多種解題方法，為了拓寬學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生在解題過程中形成良好的思維品質(zhì)，筆者與學(xué)生一起將幾種解題方法羅列出來：

解法1 如圖1所示，延長(zhǎng)BD，與AC相交于點(diǎn)E，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知待求的∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C=145°.

解法2 仿照解法1，將CD延長(zhǎng)，與BA相交，用相同的方法可求得∠BDC=145°.

解法3 如圖2所示，過點(diǎn)D作EF∥AC. ∠BDC=∠FDB+∠CDF=∠DEB+∠B+∠C=∠A+∠B+∠C=145°.

解法4 仿照解法3，過點(diǎn)D作EF∥AB，同理可知∠BDC=145°.

解法5 如圖3所示，連接BC. ∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=180°-（180°-∠ABD-∠ACD-∠A）=∠ABD+∠ACD+∠A=145°.

除了以上5種解題方法之外，學(xué)生還提出過點(diǎn)B作CD的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E等方法. 總之，一道簡(jiǎn)單的題卻有如此多的解決方法是學(xué)生開始沒有想到的，學(xué)生在驚嘆數(shù)學(xué)解題方法的靈活多樣性的同時(shí)也開闊了視野，啟發(fā)了思維，為形成廣闊性的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)奠定了基礎(chǔ).

蘇軾有句經(jīng)典名詩：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.”不僅給人們呈現(xiàn)出不同視角下山的特色，還形象地展示了從不同視角看待數(shù)學(xué)問題的“一題多解”的核心思想. 隨著思考問題角度的擴(kuò)大，學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通到一起，在靈活運(yùn)用中提高自身解題能力與思維品質(zhì).

思維的縝密性主要表現(xiàn)在學(xué)生分析與解決問題時(shí)考慮問題的周全程度，數(shù)學(xué)本就是一門嚴(yán)謹(jǐn)、周密的學(xué)科，對(duì)學(xué)生思維縝密性的要求比較高. 教學(xué)中，教師常發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在分析問題時(shí)，常常是顧此失彼、漏洞百出，解題思路模糊，有不少學(xué)生用“粗心”來給自己找個(gè)臺(tái)階下. 實(shí)踐證明，學(xué)生出現(xiàn)這種問題的根源就在于沒有準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)概念，無法精準(zhǔn)地捕捉到題干中的一些隱含條件，缺乏合理分類討論的能力等.

為此，筆者在教學(xué)中著重關(guān)注分類討論思想的培養(yǎng)與應(yīng)用，以幫助學(xué)生提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，為學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成與核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).

例2 已知△ABC是一個(gè)等腰三角形，且∠A=50°，求∠C的度數(shù).

這是一道比較簡(jiǎn)單的題目，大部分學(xué)生很快就給出∠C為80°或65°.

學(xué)生獲得這兩個(gè)結(jié)論的理由是從兩種情況進(jìn)行分析而來：①∠A是等腰三角形的頂角，剩下的兩個(gè)角分別為（180°-50°）÷2=65°;②∠A為等腰三角形的一個(gè)底角，∠C為180°-50°×2=80°.

乍一看，學(xué)生的解題思路沒有問題，考慮到∠A為頂角與底角兩種情況. 但細(xì)細(xì)琢磨就會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在將∠A視為底角時(shí)，將∠B確定為底角，認(rèn)為∠C為頂角，但是題中并沒有確切說明這種情況，那么∠C還存在為另一個(gè)底角的可能. 因此，還有一種可能就是∠C=50°，這種情況被很多學(xué)生忽略了.

此解題漏洞的產(chǎn)生，體現(xiàn)了學(xué)生思維缺乏縝密性. 因此，遇到分類討論時(shí)，學(xué)生不僅要知道正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，還要考慮周全，將每一種可能都考慮到，并逐一討論，才能避免思維漏洞的產(chǎn)生.

事實(shí)證明，培養(yǎng)學(xué)生思維縝密性的核心除了關(guān)注分類討論以外，還要注重以下幾點(diǎn)：①完善知識(shí)體系，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，如學(xué)生解決軌跡問題、反證法問題與充要條件等問題，均需建立在扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)上進(jìn)行;②結(jié)合教材，強(qiáng)化訓(xùn)練. 尤其要加強(qiáng)易錯(cuò)題、反例等的訓(xùn)練，以深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵和外延的理解程度，避免出現(xiàn)以偏概全的現(xiàn)象;③加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)與交流，及時(shí)歸因，在錯(cuò)解中吸取教訓(xùn)，完善思維.

“陷阱設(shè)置”促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性

思維的深刻性主要表現(xiàn)在學(xué)習(xí)者能一眼就看到問題的本質(zhì)，而不被事物的表面假象所迷惑，它體現(xiàn)了學(xué)生思維的邏輯水平與抽象程度. 但每個(gè)學(xué)生受認(rèn)知水平的影響，思維會(huì)表現(xiàn)出深淺不一的現(xiàn)象，教師該如何在這種差異性中提升每個(gè)學(xué)生的思維品質(zhì)呢？事實(shí)說明，將問題系列化或在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候設(shè)置一些陷阱，能有效地激起學(xué)生的探究欲，讓學(xué)生形成深刻性思維.

例3 已知關(guān)于x的方程=3-有一個(gè)正數(shù)解，則b的取值范圍是多少？

大部分學(xué)生審題結(jié)束即提筆去分母，一個(gè)個(gè)都表現(xiàn)出胸有成竹的樣子. 解題過程為：

去分母后可得x=3（x-4）+b，計(jì)算得x=6-，根據(jù)題干條件x為正整數(shù)，所以6->0，解得b<12.

此解題過程，乍眼一看毫無毛病，可以說是無懈可擊. 再細(xì)細(xì)讀題，會(huì)發(fā)現(xiàn)本題所呈現(xiàn)的方程竟然存在著隱含條件，本方程為分式方程，就要注意分母不能為零. 但學(xué)生在解題時(shí)，完全沉浸在自我良好感覺中，并沒有注意到這個(gè)重要的隱含條件，這也是學(xué)生思維不夠深刻的典型表現(xiàn). 教師通過陷阱的設(shè)置，讓學(xué)生在“吃一塹，長(zhǎng)一智”中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，從而獲得思維的成長(zhǎng).

“正誤辨析”培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性

批判性思維是指對(duì)自己或他人的做法或觀點(diǎn)通過分析、質(zhì)疑、比較，達(dá)到對(duì)問題本質(zhì)更為全面認(rèn)識(shí)的一種思維模式. 缺乏這種思維能力的人往往會(huì)被事物的表象所干擾，出現(xiàn)錯(cuò)誤的判斷. 想要形成這種思維品質(zhì)，首先要學(xué)會(huì)提問，在一個(gè)個(gè)“為什么”中獲得辨別是非的能力.

例4 已知△DEF三個(gè)角相對(duì)的邊分別為d，e，f，求證：d=.

不少學(xué)生受思維定式的影響，看到本題就選擇用去分母的方式將整式變形，耗費(fèi)了不少的時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)問題越算越復(fù)雜，這種方法根本就沒辦法解決問題. 為了培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，筆者引導(dǎo)學(xué)生回過頭來從題干條件開始靜心分析，提示學(xué)生嘗試用從結(jié)論倒推條件的方向來思考.

有學(xué)生提出：假設(shè)△DEF是一個(gè)等邊三角形，我們就可以將三條邊相等的條件代入到待求證的式子中進(jìn)行反推. 經(jīng)嘗試，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)待求證的關(guān)系竟然不存在，由此也可說明題目本身就不成立.

此過程，學(xué)生在自主探究中進(jìn)行正誤辨析，很快就發(fā)現(xiàn)了問題的癥結(jié)所在，為培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

總之，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上述四種，各種思維品質(zhì)相輔相成、互相補(bǔ)充與促進(jìn). 課堂中，教師應(yīng)有意識(shí)地通過各種教學(xué)手段的使用，訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)，讓學(xué)生逐漸形成廣闊、縝密、深刻且具有批判性的數(shù)學(xué)思維. 當(dāng)然，思維品質(zhì)的形成需經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，這就需要教育者有充足的耐心與信心，在潤(rùn)物細(xì)無聲中逐漸滲透，當(dāng)量變到一定程度必然會(huì)產(chǎn)生質(zhì)的飛躍.