以“思維進階”為導向的高考數學二輪復習策略

摘 要：培養學生的思維能力，是數學教學的核心任務.在高考數學三個常規輪次的復習中，一線教師較難把握的是二輪復習，因為它是學生突破能力瓶頸，從而實現“思維進階”的關鍵時期.基于此，本文結合高考二輪復習中的一些教學案例，從增進發散和聚合思維融合、增強逆向思維訓練、跳出思維定式和培養創新思維三個方面進行分析，闡述二輪復習策略.

關鍵詞：二輪復習;發散思維;聚合思維;逆向思維;微專題;創新思維

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）24-0038-03

收稿日期：2022-05-25

作者簡介：曹玉梅（1979.11-），女，河南省信陽人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

隨著高考改革的深入，高考試題已由“解答試題”轉向“解決問題”.“解決問題”的關鍵在于思維.在高中數學一輪復習中，大多數教師都是根據知識體系進行教學，以知識框架掩蓋學生思維發展框架的現象較為普遍，以思維為主線的教學往往處于低水平狀態.大部分學生雖然初步建立了知識體系，但不能完全建立知識間的縱橫聯系.二輪復習則起著承上啟下的作用，是學生形成系統化、條理化知識的重要時期，也是促進他們內化知識、并不斷提升知識遷移能力、閱讀能力、分析問題和解決問題能力的關鍵期.因此，在二輪復習中，促進學生的思維方式、思維結構、思維品質向高層次發展，實現思維能力的進階，是提高數學學習力、理解力和應用力的可行路徑.

1 體系重建，方法重構，增進聚合與發散思維融合

聚合性的思維是從已有的知識儲備和經驗之中找到能夠解決問題的有一定方向性、條理性的一種思維方式，它可以讓我們對所掌握的知識、方法得以鞏固.而發散性的思維則是針對同一個問題從不同的途徑和角度來進行假設、探究和分析.

在二輪復習中，我們可以引導學生在解決問題的過程中對一輪復習中的核心概念、思想方法再次進行提煉，“聚合”成完備的知識、方法體系，再對問題的解法、結果進行發散思考，增進聚合與發散思維融合.筆者在二輪復習中，以下題為例對學生進行知識、方法和思維的聚合與發散.

例1 ①tanB=2tanC，②3b2-a2=12，③bcosC=2ccosB三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解決該問題.

問題：已知△ABC的內角A，B，C及其對邊a，b，c，若c=2，且滿足.求△ABC的面積的最大值.

解析 將①或③轉化為sinBcosC=2sinCcosB，再轉化到②.再結合c=2，得到cosA=b2+c2-a22bc=8-b22b，進而得到：sinA=1-cos2A=1-（8-b2）24b2=20b2-b4-642b，因此，S△ABC=12bcsinA=b×20b2-b4-642b=-b2-102+362，所以，當且僅當b2=10時，△ABC面積取得最大值3.

筆者請學生繼續思考：①或③轉化為sinBcosC=2sinCcosB后一定要轉化到②嗎？是不是我們對這個等式的結構分析不到位？學生馬上發現這個等式的結構與sin （B±C）的展開式有關，再考慮到三角形中sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC，就會將此等式等價變形為：sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB，即：sinA=3sinCcosB，從而得到：a=3ccosB=6cosB.因此，S△ABC=12acsinB=asinB=6sinBcosB=3sin2B.易知，當B=π4 時△ABC面積取得最大值3.

隨后，筆者引導學生跳出三角恒等變換與解三角形這一知識模塊，向其它模塊遷移.先請學生繼續思考：本題的所有已知條件其實就是“c=2，且3b2-a2=12”.這兩個條件是不是說明此三角形隱藏了某種幾何特征？

為此，筆者先引例鋪墊：△ABC中，c=2，且①b=2a （或者②b+a=2c），求△ABC的面積的最大值.學生簡單作圖后發現，△ABC的幾何特征是“頂點A、B固定，頂點C是動點，它與定點A、B的距離之比（和）為定值”，于是很快得出“三角形的頂點C在圓（橢圓）上”.此時，他們的思維也逐漸發散開來，開始猜想——這“隱藏的幾何特征”雖然不能直接看出，但可以通過“坐標法”求出.于是，以AB所在直線為x軸、AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，易知頂點C（x，y）滿足：3x+12+y2-x-12+y2=12，化簡得：x+22+y2=9.顯然，當頂點C運動至點（-2，，3）處時，△ABC面積取得最大值3.

筆者趁熱打鐵，繼續追問：可否嘗試直接用①中的兩角的正切之間的關系解決問題？此時，學生心中的疑惑集中在：如何作圖體現此三角形的幾何特征——“一個角的正切是另一個角的正切的2倍”？筆者引導學生發現這兩角有公共邊BC后，學生想到——將他們都放入直角三角形中，那么正切之比可能是直角邊之比.于是，過A作邊BC的高AD來構造直角三角形，就會發現DC=2BD.設BD=x，則：S△ABC=12×3x×4-x2=32-x2-22+4，所以，當且僅當x2=2時，△ABC面積取得最大值3.

這樣，學生在探尋不同的解決方案的過程中，知識體系、思想方法得以完善，更重要的是，思維在聚合——發散——聚合中得以鍛煉.

2 執果索因，反向思考，增強逆向思維訓練

逆向思維是在研究問題時從反面觀察事物，做與習慣性的思維方向完全相反的探索.在中學數學教學中，無論是逆運算和逆定理，還是反例法、反證法、分析法等，逆向思維的思想無處不在，可以說逆向思維是貫穿整個中學階段的一種重要思維方式.下面筆者例舉一個數列放縮與函數相結合問題來說明逆向思維的運用.

例2 已知函數fx=13xlnx+23x-32x2，

（1）判斷f（x）的單調性;

（2）證明：312+23+34+…+nn+1>n-ln3n+1.

解析 對于第（1）問，學生能快速解決問題.但對于第二問，大部分同學想到的是先解決不等式的左邊——對數列3nn+1進行求和，得到較簡潔的表達式，再與右邊比較大小.顯然這種正向求解的方法行不通——因為他們無法對數列3nn+1進行求和，于是開始嘗試從不等式的右邊入手.筆者適時引導學生考慮左右兩邊結構的對稱性，大膽猜想：右邊可能是某個數列bn的前n項和？此時學生終于想到：此不等式可能是同向不等式3nn+113lnnn+1+1.這樣學生就發現它的本質問題是證明：3x>13lnx+1.正當大家忙于構造函數來證明此不等式時，又有部分同學發現這其實源于第一問已經證明了的結論——f ′x=13lnx-3x+1<0恒成立.

3 跳出常規，消除“思維定式”，升華“微專題”的應用，培養創新思維

“微專題”是從具體考點開始研究，將其所涉及的基本概念、原理、解題方法通過題組形式呈現，它能幫助學生內化知識，掌握解決此類問題的“通法”.但是，它的雙重性在于：它既可能啟發學生總結規律，也可能導致僵化的思維：因為學生僅僅獲得熟悉情景下的數學問題的解決能力，卻無法自主分析和解決新情景下的數學問題.

例3 已知函數fx=alnx-x，a>0，若關于x的不等式fx≤1x-2e在x∈（）上恒成立，求a的取值范圍.

解析 學生在嘗試參變分離無法解決問題后，構造函數gx=alnx-x-1x+2e，將原不等式轉化為gmax（x）≤0.對g′x=-x2+ax+1x2分析后得出：g（x）在x0=a+a2+42處取最大值.但是，ga+a2+42=alna+a2+42-a+a2+42-1a+a2+42+2e≤0難以求解.此時，學生再無思路.筆者引導學生思考：我們真正需要的是什么？是gx的最大值！一定要通過x0與a的關系式“-x02+ax0+1=0”將x0消去、從而將gmax（x）表示成關于a的函數嗎？學生開始嘗試先消去a，由a=x0-1x0將gmax（x）SymbolcB@0表示成（x0-1x0）lnx0-x0-1x0+2e≤0.筆者再引導學生思考：用此不等式求的是x0的取值范圍，這與我們的目標——求a的取值范圍是否矛盾？學生已能自信回答：可先求出x0的取值范圍，再由a=x0-1x0 求出a的取值范圍！接下來，學生構造函數hx=x-1xlnx-x-1x+2e，順利解出x0∈[1e，e]，從而得到a的取值范圍為[1e-e，e-1e].至此，學生開始反思——求解不順的原因是定式思維：一定要將gmax（x）≤0表示成關于a的不等式.當然，被它束縛的也許還有老師們.我們更應該反思我們的教學——學生不能只會機械套用公式、解法而不懂它的來龍去脈.我們為學生設計的各種專題和題組訓練，要盡量一題多變，在實現知識、方法遷移的同時，幫助學生完善思維能力、從而提高學科素養.

總之，“數學是思維的體操”.雖然高考改革、生情的變化、教學資源的差異，都會使二輪復習的策略隨之改變.促進學生思維良性發展，既是我們數學課堂教學的靈魂，也是保證復習效率的關鍵.堅持以思維進階為導向來實施教學，不僅僅是培養學生解決數學問題的能力，更是通過數學思維訓練，幫助學生形成良好的思考習慣和多元思維能力，從而提升創新思維能力，使其成為具有終身學習能力的人.

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[責任編輯：李 璟]