立足基礎重思維 考查能力顯素養

孫樹德

[摘 ?要] 2021年廣東省中考數學第23題遵循立基礎、考能力、考素養、重思維、重創新的指導思想，考查了多種輔助線的作法和多個基本圖形的應用，聚焦知識本質， 解法開放多元，引領學生創新思考，凸顯了數學核心素養，文章對其進行了研究.

[關鍵詞] 深度學習;單元復習課;高階思維能力

試題呈現

（2021年廣東省中考第23題）如圖1所示，在邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點. 連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長.

試題評價

1. 立意基礎，關注模型，聚焦本質

本題以正方形和三角形折疊為載體，綜合考查了正方形、勾股定理、全等三角形、相似三角形、平行線分線段成比例和銳角三角函數等核心的基礎知識.在立足基礎知識上，考查主干，關注基本圖形，回歸教材，回歸本質. 本題條件簡單，圖形簡潔，但內涵非常豐富，簡約而不簡單.在問題的解決過程中，嘗試尋找基本圖形，利用題目里折疊的對應角相等以及正方形里的直角、邊的中點等條件，嘗試添加輔助線，構造了“一線三等角”“8型”或“A型”相似三角形等基本圖形，借助勾股定理、相似三角形等知識，利用模型的本質與內涵解決求線段長度的問題.本題有效地突出了對數學基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗這 “四基”的考查，引領聚焦數學本質，考查了學生的模型思想和應用意識.

2. 解法多元，引領創新，凸顯素養

本題命題者精心設計，考查了多種輔助線的作法和多個基本圖形的應用，不同的思考方向要添加不同的輔助線，不固化學生思維，解法開放多元，但學生需要具備較強的幾何構造能力、直觀想象能力、邏輯推理能力與運算能力.從閱卷情況來看，大多數學生沿著平時學習的 “一線三等角”“8型”或“A型”相似三角形等基本圖形添加輔助線，還有學生采用“建系法”“截長法”等方法，本題引領學生創新思考，在簡潔的圖形中“無中生有”，構造了豐富多彩的幾何圖形.題目也有意向高中過渡，與高中銜接，有少數學生利用平時自學拓展的“二倍角公式”解決問題，這不僅滿足了不同層次學生的需求，也為激發學生的創新思維提供更多能力展示的空間.本題蘊含了方程思想、化歸思想、模型思想等多種重要數學思想方法，綜合考查了數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象和數學建模等核心素養，這有助于引導初中數學教學要更加注重培養學生的數學核心素養.

解法賞析

1. 思路1：以平行線為視角，構造相似三角形

解法1：（基于構造“X型”模型添加輔助線）如圖2所示，延長BF交CD于H，連接EH. 因為四邊形ABCD是正方形，所以AB∥CD，∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB=1，由勾股定理得AC=，由翻折的性質可知，AE=EF，∠EAB=∠EFB=90°，∠AEB=∠FEB，因為點E是AD的中點，所以AE=DE=EF，Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），易得∠DEH+∠AEB=90°，∠AEB+∠ABE=90°，所以∠DEH=∠ABE，△EDH∽△BAE，=，DH=，CH=，因為CH∥AB，所以==，CG=AC=.

解法2：（基于構造“A型”與“X型”模型添加輔助線）如圖3所示，延長AD，BF交于點H. ?易得△HEF∽△HBA，=，BH=2EH.設EH=x，AH2+AB2=BH2，即

x+2+12=（2x）2，x=，即AH=，因為△HGA∽△BGC，==，由勾股定理得AC=，得CG=.

解法3：（基于構造“一線三等角”添加輔助線）如圖4所示，過點F作CD的平行線分別交AD，BC于點M，N，過點G作BC的垂線交BC于點P. 易得△MEF∽△NFB. 設MF長為x，則FN長為1-x，=，=，ME2+MF2=EF2，即

2+x2=

2，解得x=，ME=，DM=，CN=，FN=. 因為△GBP∽△FBN， =. 設GP長為y，則CP長為y，BP長為1-y，FN=，BN=，=，y=，在Rt△PGC中，PC=PG=，∠GPC=90°，由勾股定理得 CG=.

2. 思路2：以平行線和半角為視角，構造等腰三角形

解法4：如圖5所示，延長BF交CD于點H，延長BE和CD交于點I. 設CH長為x，△HIB為等腰三角形，得CH2+CB2=BH2，即x2+12=（2-x）2，x=. 因為 CH∥AB ，所以△HGC∽△BGA，==，由勾股定理得AC =，CG=.

3. 思路3：以截取等長為視角，構造等角

解法5：如圖6所示，延長AB，截取BH=BG，連接GH，過點G作GJ⊥AB，易得∠ABE=∠H，則tan∠ABE=tan∠H=，設AJ=GJ=x，則JB=1-x， BH=2x-（1-x）=3x-1，在Rt△GBP中，x2+（1+x）2=（3x-1）2，解得x=. 由勾股定理得AC=，CG=.

4. 思路4：以正方形中特殊角45°為視角，構造相似三角形

解法6：如圖7所示，連接FH，因為 AD∥BC ，所以△AHE∽△CHB，==，由勾股定理得AC=，AH=，HC=，易證△AEH≌△FEH，AH=HF=，∠EAH=∠EFH=∠GFH =45°，易證△GFH∽△GCB，==，設HG= x，FG= y，==， HG=，CG =.

分析 ?上述六種解法都要先添加輔助線，作法多樣，大多數都要添加多條輔助線，對學生提出了一定的挑戰，但這些作法的方向與思路都來源于教學中重要的基本圖形.這些解法應用了相似三角形和勾股定理等核心知識，考查了學生幾何直觀想象能力、圖形構造能力和創新意識.

5. 思路5：以垂直為視角，建立直角坐標系

解法7：如圖8所示，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標系，連接AF交BE于點H，正方形ABCD的邊長為1，得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E為AD中點，AE=，E0，

，設直線BE的解析式為y=kx+b，由B（1，0），E0，

，得直線BE的解析式y=-x+， 由于△ABE折疊得到△FBE，EF=AE=，設點F（x，y），則（x-0）2+y-

2= ，因為線段AF的中點H

x，

y在直線BE上，得-×x+=y，聯立（x-0）2+

y-2=

，

-

×

x+

=

y，解得x=

，

y=

，所以F

，

. 由B，F兩點的坐標可得直線BF的解析式為y=-x+. 聯立y=-

x+

，

y=x，解得x=-

，

y=

.于是得到點G的坐標為

，

，所以CG== .

分析 ?利用建系法把數量關系轉變成位置關系，在直角坐標系中找到直線的解析式，學生需要從邊的數量找到點的坐標，考查了學生的數學抽象能力和合情推理能力.

6. 思路6：以折疊半角為視角，利用二倍角公式

解法8：如圖9所示，作GH⊥AB， 因為tan∠ABE=tan∠EBF=，tan∠ABF==，設HG=AH=4 x，HB= 3x，4x+3x=1， AH=，AG=，CG=.

分析 ?從閱卷的實際情況看，有少數學生采用了二倍角公式解決問題，本題向高中過渡，也可以作為初高中銜接教學的優質素材.由于此方法超出初中的學習范疇，在此不做太多論述.

教學導向

1. 夯實基礎知識，關注基本圖形

基礎知識是解決問題的基本支撐， 夯實基礎知識有助于解題思路的形成.本題主要考查了教材中正方形、勾股定理、相似三角形等基礎知識和重要的基本圖形，但從閱卷中發現，有不少學生知識不夠扎實，不能把基礎知識和基本圖形聯系起來，缺乏在題目圖形中抽離、構造、拆分基本圖形的能力，因此在平時的教學中，教師要引領學生打好知識基礎，引導學生建立并歸納基本圖形，理解基本圖形的內涵和本質，理解其蘊含的幾何特征和代數關系，提高學生的識圖能力，建立數量關系，強化通性通法教學[1].

2. 優化解題路徑，注重思維培養

幾何教學中輔助線的添加在初中數學學習的過程中一直是難點，學生需要具備較強的幾何直觀想象能力和創新能力，有不少學生遇到這種需添加多條輔助線的幾何題就一籌莫展，不能在知識關聯、圖形的構造、解題思路的形成建立思考.在幾何教學中，怎樣引導學生形成清晰的解題思路？例如：如何借助基本圖形解決問題？可以概括成四個步驟：（1）熟記基本圖形;（2）識別基本圖形;（3）構造基本圖形;（4）建立關系解決. 在平時的教學中，多總結、提煉、熟記，方可敏銳發現題眼.如果發現圖形中沒有基本圖形的結構，可以根據題目的已知條件和基本圖形的結構特征添加輔助線構造基本圖形，最后利用基本圖形的特征建立數量關系解決問題.在解題教學中，要留給學生充足的時間拆分和構造基本圖形，探索基本圖形的特征和數量關系，為解決問題積累基本活動經驗.教師可以開展開放式教學和變式教學，尋找有價值的“題根”，開展一題一課、一題多變、一題多解、多解歸一等教學研究，引導學生多角度、多層次的充分思考、討論，在觀察、分析、比較、選擇、批判中優化解題路徑，促進深度學習，提高學生邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力，培養學生思維的靈活性、發散性、廣闊性、深刻性和創新性，從而提升學生的數學核心素養[2].

參考文獻：

[1]劉華為. 基于深度學習的初中數學課堂教學[M]. 上海：華東師范大學出版社，2020.

[2]劉月霞，郭華. 深度學習：走向核心素養[M]. 北京：教育科學出版社，2019.