分類討論思想在初中數學解題中的應用

利劍春

[摘 要]初中數學是一門難度較大的學科，對學生的能力要求相對較高。在初中數學教學中，為了滿足學生的學習需求，讓學生能更好地進行學習，加強對知識的理解與記憶，教師需要采取高效的教學方法。在初中數學解題中應用分類討論思想，不僅能讓學生掌握解題的規律及正確的解題方法，還能提升學生的解題效率。在初中數學教學中，教師可結合典型問題引導學生合理應用分類討論思想，以助力學生有效解題，提升學生的解題能力。

[關鍵詞]分類討論思想;初中數學;應用

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2022）17-0019-03

把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想，我們稱為分類討論思想。分類討論思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。比較是分類的基礎，也是分類的前提，分類是比較的結果。分類要制訂一定的標準，分類的結果會因為標準的不同而不同，分類還要做到不遺漏、不重復。在初中數學解題教學中，教師引導學生應用分類討論思想研究和解決問題，有助于學生掌握正確的解題方法。常見的數學分類討論有由概念引起的分類討論、由參數的變化引起的分類討論等。分類討論應科學、嚴謹，要遵循同一性原則、互斥性原則與層次性原則。分類討論的步驟為：明確討論的對象及其取值范圍;合理選擇分類標準，確保分類的合理性;正確進行分類，逐類、逐段進行討論，綜合得出結果。本文重點對涉及分類討論的幾種類型題進行分析，以提高學生的解題能力。

一、函數相關問題的分類討論

函數是初中數學的重點內容，其考查的重點為二次函數。在解決函數問題的過程中，學生如果沒有掌握一定的解題方法與技巧，就難以提高解題效率與準確度，也無法取得好成績。二次函數相關題型多涉及參數，所以要求學生能善于應用分類討論思想進行解題。

[例1]函數[y=kx2-8x+8]的圖像與[x]軸有兩個交點，則[k]的取值范圍是__________。

這是一類涉及參數的函數問題。學生乍一看發現函數圖像與[x]軸有兩個交點，于是就想到用[Δ>0]來求解，列出[Δ=（-8）?-32k>0]，解得[k<2]。對此，筆者給予提示：“這個函數一定是二次函數嗎？”學生這才注意到，函數解析式的二次項系數是字母[k]，而[k]的取值不同時，對應的將是不同的函數。由此，學生進行[k=0]和[k≠0]的分類討論：（1）當[k=0]時，原函數是一次函數，其解析式為[y=-8x+8]，其圖像與[x]軸只有一個交點，與題意不符;（2）當[k≠0]時，原函數是二次函數，其解析式為[y=kx2-8x+8]，由[Δ>0]解得[k<2]且[k≠0]。故本題[k]的取值范圍是[k<2]且[k≠0]。

這是一道易錯題，學生經常會忘記討論函數解析式二次項系數是否為0的情況，由此教師需要歸納總結：二次項系數是否為0，是一個函數是否為二次函數的前提條件。如果二次項系數是參數或者是含有參數的式子，同樣也需要討論是否為0。

二、絕對值問題的分類討論

在初中數學解題教學中，為了讓學生形成分類討論思想，教師應做好引導。分類討論要有其原則，避免胡亂分類或者分類缺乏條理。在分類時，要求每一部分都是相互獨立的，且按照一個標準進行分類，分類需逐級進行。為了讓學生能順利完成分類討論，教師可結合一些有代表性與典型性的題目來進行引導。絕對值問題是代數的重要內容之一，要求學生能應用分類討論思想來求解。教師可結合這類問題進行引導。

[例2]已知[0≤a≤4]，化簡[a-2+3-a]。

本題要求化簡的式子含有兩個絕對值，在[0≤a≤4]范圍內，分別有不一樣的化簡結果，因此不能直接化簡，需要分類討論。對此，筆者設計了以下提問：

（1）當[a=0]，1，2，3，4時，化簡結果是否一樣？如果不一樣，為什么？

（2）哪些數使得兩個絕對值分別等于0？

（3）如果只化簡[a-2]，[a]的取值范圍需要分為幾種情況？

（4）如果只化簡[3-a]，[a]的取值范圍需要分為幾種情況？

（5）如果同時化簡[a-2]和[3-a]，[a]的取值范圍又需要分為幾種情況？

學生會逐一思考，從而發現影響化簡結果的臨界值是[a=2]和[a=3]這兩個數，因此，這兩個數把[0≤a≤4]分為三個小范圍：[0≤a≤2]，[2

這樣循序漸進地設問，學生會意識到有關絕對值的分類討論，是從絕對值符號里面的式子與0比較大小來入手的，這為以后解決更復雜的絕對值分類討論問題奠定了基礎。

三、三角形相關問題的分類討論

等腰三角形是特殊的三角形，學生很容易在解決三角形相關問題時出現錯誤，所以教師要善于應用分類討論思想來引導學生解決問題，讓學生通過分類討論，掌握正確的解題方法。壓軸題是歷年數學考試的重點，分類討論是數學壓軸題最為常見的解題思路與方法，通過分類討論，學生可有效解題，掌握解題技巧，并能舉一反三。壓軸題中特殊三角形、特殊四邊形等問題都要進行分類討論。對于直角三角形的存在性問題也可以應用分類討論思想，可按照直角頂點的不確定性來進行分類討論。在三角形相似的存在分類討論中，主要對已知三角形的特征進行確定。以等腰三角形的分類討論為例，可以分為以下四大類問題，學生可以利用分類討論思想分析解決這四類問題。

第一，遇邊問題需討論。

比如[a]，[b]是等腰三角形的兩條邊長，且[a]，[b]滿足[a-1+2a+3b-11=0]，則該等腰三角形的周長為__________。

對于本題，學生可以先根據絕對值的非負性，列式解出[a=1]，[b=3];接著求三角形的周長，因為題目并沒有明確腰和底邊，所以就要進行分類討論。當[a]是底邊時，三邊分別為3，3，1，周長為7;當[b]是底邊時，三邊分別為1，1，3，周長為5。很多學生認為本題的答案為7或5。對此，筆者進行提問：這兩種情況下的邊長，能否構成三角形？學生恍然大悟：當三邊分別為1，1，3時不能構成三角形。

由此可以歸納出：等腰三角形對底邊和腰進行分類討論得出來的結果，也需要進行嚴密的檢驗;只有符合三角形兩邊之和大于第三邊的條件，才能構成三角形。

第二，遇角問題需討論。

比如已知等腰三角形的一個內角為70°，求三角形另兩個角。這類題目并沒有說明已知角是頂角還是底角，這時就需要進行分類討論了。可先將已知角分為頂角與底角兩類，然后再通過三角形內角和定理進行計算。

第三，遇中線問題需討論。

比如一個等腰三角形一腰上的中線把三角形分為兩個部分，其中一個部分的周長為9厘米，另一個部分的周長為12厘米，求三角形的底和腰。對于這類問題，需要畫圖分析。畫圖時就會發現需要分類討論，明確9厘米與12厘米是上下哪部分。當9厘米是上面部分時，設底邊和腰為未知數，列出方程，求得底邊和腰分別是6厘米和9厘米;當12厘米是上面部分時，求得底邊和腰分別是8厘米和5厘米。

第四，遇高問題需討論。

比如已知一個等腰三角形，一條腰上的高與另一條腰的夾角為20°，計算頂角的度數。由于銳角三角形的高在內部，鈍角三角形的高在外部，對于這類問題也要進行分類討論。結合圖形，將三角形的頂角分為銳角與鈍角兩種情況進行分類討論。當頂角是銳角時，由三角形內角和求得頂角為70°，同理，當頂角是鈍角時，求得頂角為110°。

由此可見，對于與三角形有關的問題，大多數都是需要畫圖進行分析，而在畫圖的過程中，就會遇到各種情況需要進行分類討論。因此，分類討論思想和數形結合思想密不可分。

四、方程和不等式問題的分類討論

數與代數是初中數學的主要知識點之一。實數、代數式等是數與代數的重要內容。數與代數的涉及范圍較廣，學習難度較大，如何才能讓學生更加高效、靈活地解題成為教師關注的重點。在近幾年的中考數學中，數與代數的考查相對較多，且屬于綜合性題目，對學生提出了更高的要求。數與代數綜合題中涉及的知識類別常呈現出“你中有我，我中有你”的關系。數與代數綜合題主要分為四大類。第一類，以方程（組）為主的“數與代數”綜合題。這類題型的考查重點放在分式方程、一元一次方程的應用方面，所以教師在教學過程中可通過典型案例，引導學生解題，在解題過程中要求學生能對題目中的等量關系予以明確，并列出相應的方程。第二類，以不等式（組）為主的“數與代數”綜合題。這類題型一般對學生的列方程能力、應用不等式組解決實際問題的能力進行考查，問題一般來源于生活。第三類，以函數為主的“數與代數”綜合題。這類題目考查的重點是一次函數的應用。第四類，函數與不等式（組）相結合的“數與代數”綜合題。這類題型考查的重點為一次函數的解析式的運用。對于這個知識點，分類討論也是常考的點。比如2021年北部灣中考數學第12題就考查了不等式的分類討論。

[例3]定義一種運算：[a?b=a， a≥b，b， a3]的解集是（）。

A. [x>1]或[x<13]

B. [-1

C. [x>1]或[x<-1]

D. [x>13]或[x<-1]

如果僅僅是考查解不等式，估計很多學生都可以得出正確答案。但這是一道定義新運算的題目，這個新運算是以分段函數的形式出現的，它的本質其實就提示了要對[a]和[b]的大小進行分類討論。

先讓學生讀懂這個新運算的法則：

當[a≥b]時，[a?b=a];

當[a

同理，在所求不等式中，

當[（2x+1）≥（2-x）]時，[（2x+1）?（2-x）=2x+1]，

當[（2x+1）<（2-x）]時，[（2x+1）?（2-x）=2-x]。

這樣，就對原不等式進行了化簡，轉化為兩個一般的不等式來求解了。

五、圓相關問題的分類討論

初中數學中分類討論思想的應用教學，能讓學生掌握解題方法與技巧，提升解題效率。與圓有關的問題中，分類討論思想的應用，主要在于點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等。教師可引導學生對題目中的變量或兩個圖形之間的距離等進行明確。

[例4]一個點[P]到圓的最小距離為[6 cm]，最大距離為[9 cm]，則該圓的半徑是（）。

A. 1.5 cm

B. 7.5 cm

C. 1.5 cm或7.5 cm

D. 3 cm或15 cm

本題并沒有配圖，也就是說，需要學生自己畫圖來進行分析。那么在畫圖的過程當中，點的位置畫在哪里就顯得很關鍵了。而題目并沒有指出已知點是在圓內還是圓外，因此，需要分類畫出兩個圖形。

當點[P]在圓內時，直徑=最小距離+最大距離。

當點[P]在圓外時，直徑=最大距離-最小距離。

這樣，學生通過畫圖分析，找到了這類問題的突破口，也就是分類討論點的位置，通過圖形的作用快速找到解題技巧。

總之，分類討論思想是一種重要的數學思想，更是一種邏輯思維方法，學生在分類討論思想的指引下，能高效完成數學解題，提升解題能力與水平。

（責任編輯 黃春香）