以“雞兔同籠”為例談小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)策略

【摘 要】“雞兔同籠”是《孫子算經(jīng)》中的一道著名問題，是我國古代的經(jīng)典趣題。文章從教材及學(xué)情分析入手，準(zhǔn)確定位“雞兔同籠”問題的目標(biāo)價值，重新劃分課時，重組單元教學(xué)結(jié)構(gòu)：第一課時，回歸初心，引入列舉法，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ);第二課時，拉長過程，滲透假設(shè)法，實現(xiàn)思維培育;第三課時，溝通融合，傳授綜合法，提升學(xué)生的思維能力。由此通過三個課時的螺旋遞進(jìn)式教學(xué)，實現(xiàn)提升學(xué)生解決問題能力的目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);“雞兔同籠”;單元整體教學(xué);策略

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）24-0118-03

“雞兔同籠”是我國古代的經(jīng)典趣題，難度較大。在實際教學(xué)中，教師一致認(rèn)為這個內(nèi)容特別難教，反復(fù)講、反復(fù)練，學(xué)生的錯誤率還是很高。教材建議用兩個課時教學(xué)這部分內(nèi)容，而實際教學(xué)中基本上都需要增加課時。“雞兔同籠”問題的目標(biāo)定位應(yīng)該側(cè)重什么？列舉、假設(shè)、畫圖等方法孰輕孰重？怎樣滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求？帶著這些問題，筆者所在的教研團隊對“雞兔同籠”問題進(jìn)行了單元整體教學(xué)實踐。

1? ?“雞兔同籠”單元整體教學(xué)研討思路

1.1? 比較不同教材，明晰價值定位

“雞兔同籠”在不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中都有所體現(xiàn)，當(dāng)筆者所在的教研團隊對這一教材內(nèi)容進(jìn)行對比時，發(fā)現(xiàn)教材都主張用列舉法、畫圖法、假設(shè)法、方程法來解決“雞兔同籠”問題。而列表法又是幾種版本教材都共同采用的解題方法，這就體現(xiàn)了列表法的重要作用。從本質(zhì)上說，列表法、畫圖法、假設(shè)法都遵循“假設(shè)—對比—調(diào)整”的思路。列表法不僅僅是與假設(shè)法并列的一種解題方法，更是假設(shè)法產(chǎn)生的基礎(chǔ)。從本質(zhì)上來說，假設(shè)是列舉的特例，學(xué)生有了列舉的經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)了隱含的替換規(guī)律（如將一只兔子換成一只雞，腿少兩條），才能真正理解假設(shè)法的原理。另外，大部分教材均未體現(xiàn)畫圖法，但這種方法能讓解決問題的過程更加直觀形象，能激發(fā)學(xué)生的興趣，加深學(xué)生對所學(xué)知識的印象，因此畫圖法適合作為解釋假設(shè)法的支架。因四年級學(xué)生未學(xué)習(xí)過方程知識，因此本單元將方程法刪去，在五年級的方程單元再編排相應(yīng)習(xí)題。

“雞兔同籠”問題的教學(xué)價值不僅僅在于讓學(xué)生掌握不同的解題方法，也可以使其了解我國古代數(shù)學(xué)文化，更重要的是能夠引導(dǎo)學(xué)生嘗試用不同的思路解決新問題，明確各種不同方法之間的聯(lián)系，滲透枚舉思想、假設(shè)思想、數(shù)形結(jié)合思想、建模思想等數(shù)學(xué)思想方法[1]。

1.2? 前置學(xué)情調(diào)研，實施差異教學(xué)

為了更準(zhǔn)確地把握學(xué)情，教研團隊分別對一所城區(qū)學(xué)校、一所農(nóng)村鄉(xiāng)鎮(zhèn)中心學(xué)校的四年級學(xué)生進(jìn)行了前測，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決“雞兔同籠”問題比較困難，正確率不超過25%。很多學(xué)生雖然在課外接觸過“雞兔同籠”問題，但仍不會做。在找到正確解題方法的學(xué)生中，運用假設(shè)法的占一半以上，而解決變式題時運用假設(shè)法的學(xué)生卻減少了一半，這說明很多學(xué)生雖接觸過假設(shè)法，但卻不理解假設(shè)法的內(nèi)涵。此外，解答變式題時更多的學(xué)生采用列舉法。相較于假設(shè)法這樣比較抽象的方法，學(xué)生有比較豐富的列舉經(jīng)驗，因此更傾向于使用列舉法。遇到新問題時，先試一試，再調(diào)整是常見的思路，只要有序地思考，就一定能找到答案。

1.3? 內(nèi)容螺旋遞進(jìn)，確定重組思路

1.3.1? 降低起點，降低難度

綜合學(xué)情調(diào)研，教研團隊確定“雞兔同籠”問題的起始教學(xué)需要保證低起點、低難度。教材中只安排了兩個課時，但是從學(xué)情來看，兩個課時太倉促，因此教研團隊規(guī)劃了三個課時。第一課時從最容易掌握的列舉法入手，規(guī)定只能用列舉法解決問題，給予學(xué)生充分的感悟時間，為假設(shè)法的引入與理解奠定基礎(chǔ);第二課時注重理解并嘗試運用假設(shè)法解決問題，同時滲透畫圖法與列表法;第三課時的教學(xué)目標(biāo)則是靈活運用不同方法解決問題。

1.3.2? 尊重差異，因材施教

針對不同學(xué)生之間的差異，教師既要保證學(xué)生至少學(xué)會一種方法，又要給予不同層次的學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展的空間。如在列舉法的教學(xué)中，要讓能力較差的學(xué)生學(xué)會一一列舉，能力中等的學(xué)生嘗試折中列舉、跳躍列舉，能力較強的學(xué)生嘗試采用一步調(diào)整法直接得出答案（與假設(shè)法思路類似）。

2? ?“雞兔同籠”單元教學(xué)實踐

2.1? 第一課時，回歸初心，引入列舉法

有些學(xué)生首次遇到“雞兔同籠”問題，覺得運用列舉法是最容易的。第一課時以“非常規(guī)雞兔同籠問題”為載體，引入能被廣泛遷移的列舉法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會有計劃地列舉，嘗試根據(jù)規(guī)律進(jìn)行分析和調(diào)整，為下一課時假設(shè)法的學(xué)習(xí)積累活動經(jīng)驗。

2.1.1? 由扶到放，教會列舉方法

雖然學(xué)生之前有相關(guān)的列舉經(jīng)驗（如租船問題），但是“雞兔同籠”既要考慮頭數(shù)，又要考慮腳數(shù)，第一次接觸的學(xué)生往往無從下手。考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，本課采用由扶到放的思路。課程一開始，教師出示主題情境：小明用小棒搭三角形和正方形，一共搭了8個，共用了29根小棒，三角形和正方形各搭了幾個？由此引導(dǎo)學(xué)生解讀信息，并思考解決方法。有學(xué)生提到假設(shè)、列舉等方法，這時教師應(yīng)適時強調(diào)：“是呀，要解決這個問題可以用很多不同的方法，這節(jié)課我們用列舉法解決問題。”接著，教師引導(dǎo)學(xué)生思考怎么列舉，并讓會列舉的學(xué)生教不會列舉的學(xué)生，采用從一頭有序列舉的方式，分別列出圖形個數(shù)（和是8），再檢驗小棒根數(shù)（看總數(shù)是不是29），通過引入列舉法為學(xué)生的思維發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

2.1.2? 核心問題，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律

在列舉法中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可以為后面假設(shè)法的引入搭建橋梁，但是這樣的規(guī)律需要核心問題來引領(lǐng)，促使學(xué)生深度思考。針對本課的第一個學(xué)習(xí)材料（搭小棒問題），學(xué)生采用列舉法解決問題后，教師組織學(xué)生圍繞“找到一個正確答案后，還需要列舉下去嗎？為什么小棒根數(shù)每次少1？”這一核心問題進(jìn)行思考。通過討論交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形每次多1個，正方形每次少1個，小棒的總根數(shù)就會少1根。列到三角形5個，正方形3個時，小棒根數(shù)比29根要少，不符合要求，所以不用列舉下去了。每次相差1是因為搭一個三角形比搭一個正方形少用一根小棒。核心問題的引領(lǐng)，可以讓學(xué)生聚焦有序列舉中的規(guī)律，簡化列舉的過程，為后續(xù)根據(jù)規(guī)律直接列舉小棒總根數(shù)以及跳躍列舉和假設(shè)法的引入奠定基礎(chǔ)。

2.1.3? 靈活列舉，推動思維發(fā)展

有了以上環(huán)節(jié)的列舉經(jīng)驗，有了規(guī)律作支撐，學(xué)生自然而然會想辦法簡化列舉的過程。第一課時主要有三個學(xué)習(xí)材料，前兩個材料涉及的數(shù)據(jù)較小，第三個材料（籠子里關(guān)著一些雞和兔。從上面數(shù)有16個頭，從下面數(shù)有50條腿。雞和兔各有幾只？）的數(shù)據(jù)較大，可以給予思維能力強的學(xué)生展示的平臺。折中列舉的呈現(xiàn)，讓學(xué)生明白可以從兩頭列舉，也可以從中間列舉，在此過程中需要考慮調(diào)整的方向，對學(xué)生的推理能力提出了挑戰(zhàn)。跳躍列舉的展示讓學(xué)生體會到列舉法也可以很簡單，關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)律進(jìn)行調(diào)整。從有序列舉到根據(jù)規(guī)律直接寫腿數(shù)，再到跳躍列舉，由扶到放，層層深入，假設(shè)法的算理呼之欲出。

2.2? 第二課時，拉長過程，滲透假設(shè)法

掌握列舉法讓學(xué)生獲得了學(xué)習(xí)的成就感，在此基礎(chǔ)上探究假設(shè)法，可以將學(xué)生的思維發(fā)展引向更高層次。雖然部分學(xué)生課前已接觸過假設(shè)法，但是真正理解假設(shè)法內(nèi)涵的學(xué)生寥寥無幾。因此，假設(shè)法的學(xué)習(xí)需依托列舉的活動經(jīng)驗以及畫圖的直觀支撐，循序漸進(jìn)，逐步建構(gòu)“雞兔同籠”問題的模型，使學(xué)生真正理解假設(shè)法。

2.2.1? 列舉引路，無縫對接

從本質(zhì)上講，假設(shè)法是特殊的列舉法，借助列舉的經(jīng)驗，可以更好地幫助學(xué)生內(nèi)化假設(shè)法。課程一開始，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：前一節(jié)課，我們是怎么解決問題的？誰能用其他方法解決這個問題？由此引導(dǎo)學(xué)生回顧列舉的過程，同時促使學(xué)生大膽探索新的方法。有了前一課時的列舉經(jīng)驗，這樣的引導(dǎo)基于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，更利于學(xué)生遷移運用。

2.2.2? 畫圖支撐，直觀理解

在學(xué)生嘗試用假設(shè)法解決問題后，教師引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖解釋每一步的含義，在此基礎(chǔ)上呈現(xiàn)課件，幫助學(xué)生整理思路。圖與式的一一對應(yīng)，可以幫助學(xué)生充分理解假設(shè)法。“畫圖—析圖”的過程，在學(xué)生頭腦中形成“換1差2”的表象，為學(xué)生舉一反三、靈活運用假設(shè)法解決問題奠定基礎(chǔ)。

2.2.3? 不斷反思，立體建構(gòu)

“雞兔同籠”問題的解決方法很多，但是教學(xué)重點不在多，而是應(yīng)當(dāng)注重不同方法之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在反思中獲得更好的發(fā)展。

【教學(xué)片段】

師：列舉法、假設(shè)法、畫圖法有什么相同和不同之處？

生1：列舉法是從1只雞和15只兔開始想的，畫圖法是從16只全是雞開始想的，假設(shè)法也是從假設(shè)全是雞開始想的。

生2：我覺得畫圖法和假設(shè)法也能算列舉法，只不過是從16只雞、0只兔開始想的。

生3：我覺得三種方法差不多，都是先假設(shè)，再調(diào)整。

師：是的，這三種方法其實思路上是一樣的，都是按照“假設(shè)—對比—調(diào)整”的路徑展開。不同點在于逐一列舉讓我們發(fā)現(xiàn)了“雞兔同籠”問題中的規(guī)律;畫圖法讓我們明白了思考的過程和依據(jù);假設(shè)法是特殊的列舉法，通過極端特例提升了解決問題的效率。

通過組織學(xué)生比較和反思，在關(guān)注三種方法的異同點的同時，追溯每種方法的思考起點，以立體化的模型建構(gòu)起解決“雞兔同籠”問題的思想方法。

2.3? 第三課時，綜合運用，融會貫通

練習(xí)課是新授課的補充和升華。本單元的第一課時重在教學(xué)列舉法，第二課時重在教學(xué)假設(shè)法，第三課時重在進(jìn)一步綜合理解不同方法，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同情境自主選擇合適的方法解決問題，提升學(xué)生的思維能力。

練習(xí)課的功能之一是幫助學(xué)生鞏固基本知識和方法。通過前兩課時的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了列舉法、假設(shè)法等方法，本課時第一層次是引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的方法。課程一開始，教師出示“雞兔同籠”問題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有10個頭，從下面數(shù)有36條腿，雞和兔各有幾只？學(xué)生自主選擇方法解決問題，同時展示不同方法，相互之間進(jìn)行溝通交流。直觀圖是思維的支架，算式是思維的一種再現(xiàn)方式，而語言則是思維的外衣，用語言描述不同方法的過程，就是理解不同方法的過程，可以培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。

對于學(xué)生來說，沒有最好的方法，只有最適合的方法。一方面，面對不同的問題應(yīng)采用不同的方法，有的問題用假設(shè)法來解決更簡單，有的問題用列舉法來解決更容易找到規(guī)律。另一方面，思維能力弱的學(xué)生可能只會用列舉法，思維能力強的學(xué)生喜歡用假設(shè)法。教學(xué)中，教師要給予學(xué)生足夠的空間，允許學(xué)生選擇自己喜歡的方法解決問題，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同的情境選擇合適的方法進(jìn)行思考。

綜上所述，“雞兔同籠”作為一道有著悠久歷史的數(shù)學(xué)問題，也是不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材的保留內(nèi)容，可見它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要價值。教師在教學(xué)中可以利用這道題讓學(xué)生掌握多種解題技巧，同時激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究問題的積極性，從而提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]牛獻(xiàn)禮.溝通聯(lián)系 突出思想——“雞兔同籠”問題的教學(xué)思考與實踐[J].小學(xué)教學(xué)研究，2018（3）.

【作者簡介】

盧兆靜（1992～），女，漢族，江蘇南京人，本科，小學(xué)一級教師。研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。