高考概率題分析及教學策略

趙永剛

【摘 要】 高中數學新課標重點立足于學生核心素養的提升，其中提升學生數據分析能力是六大核心素養的重點內容.以數據分析處理能力為考查指向的高考概率題為研究對象，分析提升高中數學核心素養為核心的數據分析處理能力培養的教學策略，從教師增強數據應用意識，在課堂踐行自主課堂教學模式，使高中生在獲取資料問題、分析數據信息、有效處理的過程中，培養高中生數據處理能力.

【關鍵詞】 數據分析處理;教學策略;核心素養

1 提升學生數據分析處理能力的重要意義

1.1 數據分析是數學六大核心素養之一

數學數據處理能力是高素質人才不可或缺的一項重要技能，在高中數學教學過程中，提高學生的數學數據處理能力是非常重要的一環.在核心素養培養的背景下，提高學生對數學知識的條理性和靈活運用能力，使其能夠扎實的掌握數據分析能力是當前高中數學教師必須重視的重要課題.《普通高中數學課程標準（2017 年版）》將“數據分析”列為高中數學六大核心素養之一，具體主要表現為：收集并整理數據，理解并處理數據，獲得并解釋結論，概括并形成知識[2].從能力水平和要求上呈現金字塔結構.數據對于國家和企業的重要性不言而喻.學校是培養人才的主陣地，高中數學教學擔負著挖掘并培養學生數據分析潛力的重要任務.

1.2 數據分析素養體現新時代育人方向和價值

通過高中數學的學習，學生能夠提高定量分析和獲得有效信息的意識和能力;積累通過數據分析探索事物本質和規律的經驗;適應數字化學習需要，增強以數據為基礎反映實際問題的意識，形成以數據為基礎認識事物的思維品質[2].在此基礎上，將育人方向落實到三個目標上：提升學生主動獲取有效信息、定量分析的意識和能力;幫助學生積累數據分析的實踐經驗;形成靈活運用數據分析問題的思維習慣和品質.

1.3 數據分析素養是適應新時代的基本要求

數據分析是研究探討隨機現象的重要技術，是“互聯網+”等相關領域的主要數學方法，也是大數據時代對于數學應用的主要方法，數據分析已經滲透到現代科學技術和社會生活的各個角落.大數據時代的主要特征就是信息技術和經濟、社會活動深度融合，而推廣大數據技術，提升人們的數據分析素養是這個時代的基本要求.

2 近幾年數據處理能力的考查指向題分析

2.1 考查收集數據、描述數據的能力

數據處理能力考查的主要方面有：能夠掌握運用調研、實驗和查閱資料等收集數據的基本方法;根據問題的需要，選擇隨機抽樣、分層抽樣等不同的抽樣方法收集數據;合理運用餅形圖、條形圖等統計圖表對數據進行直觀描述，能夠通過統計圖表識別數據的數字特征.

例1 （2018年全國統一高考數學試卷（理科））某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：

則下面結論中不正確的是（? ）

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半

解析 設建設前經濟收入為a，建設后經濟收入為2a.

A項，種植收入37%×2a-60%a=14%a>0，

故建設后，種植收入增加，故A項錯誤.

B項，建設后，其他收入為5%×2a=10%a，

建設前，其他收入為4%a，

故10%a÷4%a=2.5>2，

故B項正確.

C項，建設后，養殖收入為30%×2a=60%a，

建設前，養殖收入為30%a，

故60%a÷30%a=2，

故C項正確.

D項，建設后，養殖收入與第三產業收入總和為

（30%+28%）×2a=58%×2a，

經濟收入為2a，

故（58%×2a）÷2a=58%>50%，

故D項正確.

因為是選擇不正確的一項，

故答案選：A.

點評 本題主要考查事件與概率，概率的應用，命題的真假的判斷，考查發現問題解決問題的能力.

2.2 考查整理分析數據的能力

數據處理能力包括以下幾個方面，能夠運用恰當的數學方法處理數據;能夠綜合運用數字、文字、圖形、表格等多種形式描述數據并認清數據之間的關系;能根據不同的條件適用正確的方法，并發揮想象力創造新的方法.

例2 （2021年全國高考數學甲卷）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：

根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（? ）

A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%

C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

解析 因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值.

該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶的比率估計值為0.02 + 0.04=0.06=6%，故A正確;

該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計值為0.04 +0.02x3 =0.10=10%，故B正確;

該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為

0.10+0.14 +0.20x2= 0.64= 64% > 50%，故D正確;

該地農戶家庭年收入的平均值的估計值為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02 =7.68（萬元），超過6.5萬元，故C錯誤，選C.

點評 該題考查學生概率統計中直方圖.組中值、頻數、頻率、總體與樣本等基本概念知識，考查學生綜合運用文字、數字、直方圖等多種形式對數據進行整理和描述，清晰反映資料數據之間的關系，并分析數據的數字特征，進而考查頻數、頻率的計算，通過樣本的平均數估計值如何估計總體估計值的計算，以此考查學生運用直方圖解決經濟生活中出現的數據分析問題的能力.

2.3 考察通過數據處理進行預報、推斷的能力

數據處理能力要求學生能根據問題的需要，用合適的度量來表達數據的差異性，通過常見的兩點分布、超幾何分布、二項分布以及正態分布等概率模型，從復雜的數據中提取有效的信息，為科學合理決策提供數據推理依據.

例3 （2021年全國高考數學乙卷）某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為x-和y-，樣本方差分別記為s21和s22.

（1）求x-，y-，s21，s22;

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果y--x-≥2s21+s2210，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.

解析

（1）

依題意，

y--x-=0.3=2×0.5=20.152=20.0225.

20.036+0.0410=20.0076.

y--x-≥2S22+S2210.

所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.

點評 此題對數據處理的考核相對復雜，有一定的難度和深度，考查了學生均值和方差的數字計算能力，并考查了學生分析數據和根據獲取的信息進行推斷、顯著性檢驗的能力.

3 教學策略建議

3.1 教師要增強數據應用的意識

培養人才數據分析素養是推進數字化經濟發展、加快前沿數字技術開發進程、平衡數字信息共享和隱私安全保護之間的關系等的基礎，是一個國家教育發展戰略和人才培養戰略的重要指標.作為人才教育的重要承載者，教師首先要明確人才培養定位、增強數字應用的意識，將數據分析素養的培養滲透到日常的數學教學實踐中.

3.2 教師要努力提高信息技術應用能力

信息技術應用能力是大數據時代教師必須具備的核心素養，也是提升數據分析素養的重要保障.為此，學校應當將互聯網、大數據技術引入到課堂教學中，打造信息化教學團隊，探索智能化教育的新模式.教師應當加強自我學習和自我提升，運用先進的信息技術提升自己的數據分析能力.

3.3 創新教學方法，利用生活化案例教學

高中數學課程知識的設置是以培養學生的數據分析處理能力為核心的.數學學習最終目的是解決現實問題.高中數學知識本身較為枯燥、深奧，學生在學習過程中一旦把握不好節奏就會很容易對數學失去興趣.因此，高中數學教師要立足生活，以生活化的內容為引導驅動學生自主觀察、體驗生活，以生活化的案例為切入點展開教學.

4 結語

總之，將數據分析作為高中數學課程目標中，培養高中學生必備的六大核心素養之一，體現了高中數學的教育價值和育人價值.數據處理能力是一種高中數學的學習中相對較高層次的思維能力，在解決社會生活問題和動手實踐中，能力才能得到充分的鍛煉和提高.高中數學教師在課堂教學中，要圍繞提高數據處理能力核心素養進行探討.

參考文獻：

[1]教育部考試中心.2020 年普通高等學校招生全國統一考試大綱（理科）[S].北京：高等教育出版社，2020.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017 年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[3]黃振良.中國高考評價體系下數學命題對核心素養培養的導向[J].高考，2021（09）：5-6.