數形結合思想在初中數學解題中的應用

摘要：初中數學的教學中運用數形結合，通常能夠使學生學習數學知識的能力得到切實提高.鑒于此，本文主要對數形結合及其在初中數學解題中的運用重要性與問題進行分析，并提出數形結合在初中數學具體解題中的應用策略，從而使學生的思考與探究能力得以提高的同時，實現初中數學的教學質量與效率提升.

關鍵詞：初中數學;數形結合思想;解題;應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）14-0035-03

收稿日期：2022-02-15

作者簡介：韓軍（1975.10-），男，甘肅省靖遠人，本科，中學高級教師，從事初中數學教學研究.

數形結合通常指在數學信息不發生改變的情況下，數據與圖形的有效轉換，將相關數據精密的呈現在圖形上，以圖形上出現的變化，對數據變化進行理解，并經過數據了解到圖形的狀態.因此，在對數學問題進行解決時，需注重圖形與數值的有效結合，以促使學生通過眼睛觀看到數據的變化，這不僅能夠使學生對于數學知識的學習興趣得以提高，而且還能使數學問題更為簡單，促進學生有效解決相關數學問題，從而使學生形成良好的學習與思考習慣.初中階段的數學解題中，教師可通過相應的教學方法對學生的學習習慣進行培養，以促使學生形成相應的自學能力.基于此，數學教師在解題教學中，需注重數形結合的思想融入，促進學生對于數學知識的理解，以數形結合的思想解決相關應用題，以此為數學學科的實踐問題解決奠定夯實的基礎，并促進學生自身的水平提高.同時，數形結合還有助于學生的理解力以及邏輯能力的提高，引導學生由數學題目中找到可應用的內容，以畫圖表達出內容，以實現數學題的簡單化、明了化，以實現數學題的有效解決.

1 數形結合思想及其思維培養的意義

1.1 數形結合思想概述

數形結合運用到的是數和形的對應關系，其能夠使數與形之間實現有效轉換，以便于數學難題的有效解決，許多問題都能通過該原理，獲得更為便捷的解題方式，許多的數學知識都抽象無法有效理解，如能通過數形的有效轉化，就更便于理解，屬于初中數學實際解題中的重要思想.通過數形結合思想的運用，主要是對條件與結論之間的聯系進行考察，將其聯系通過圖形或數軸實施表達，不僅能通過幾何與代數實現數學問題的解決，而且還能使解題的效率與準確率得到有效提高.

1.2 數形結合思維培養的意義

首先，有助于學生直覺思維的發展.對于直覺思維而言，其主要指不通過嚴格邏輯推理的過程，在第一時間對數學問題做出合理猜測與設想，直到數學問題的解決，其并非是毫無根據的，而是來源于新舊知識的聯系、銜接與積累.通過直覺思維實現問題解決，就需做到認真觀察、猜測、聯想與歸納.而數形結合的思維培養，則需學生形成相應的自覺思維，需學生在較短的時間實現幾何模型的構建，依據給出的已知條件，實現函數或者幾何圖形的構造，以實現數學問題的直觀形象的解決.

其次，有助于學生學習數學知識的興趣提高.初中數學的解題過程中，對學生而言是極為枯燥的，且涉及到一定的思維與邏輯，具有較大的難度，這就會影響到學生對于數學知識的學習興趣.想要避免該現象出現，數學教師在解題教學中，就需通過數形結合的思想，將數學題和圖形有效結合，以促進學生學習興趣提高的同時，吸引學生的學習注意力，促進學生對于數學知識的學習難度降低，以促使學生積極主動接受數學知識的同時，促進學生自身的學習能力提高.

2 數形結合在初中數學解題教學中的問題

2.1 對數形結合的方法缺乏重視

經過調查顯示，數形結合在初中數學的解題中沒有得到充足的重視.由此可知，數形結合普及，不僅需教師自身具備相應的數形結合意識，而且還需創設出通過數形結合的方法進行問題解決的環境，且學生也需充分的認識與了解到數形結合在解題中的重要性.

2.2 對數形結合的價值缺乏認識

初中數學的傳統化學習中，學生對于數學知識的學習較為吃力，這就使學生無法充分了解到何為數形結合，無法通過數形結合的靈活運用，促進數學問題的解決，也無法了解到數形結合的簡便性.許多原因致使學生無法充分認識到數形結合的重要性.

2.3 對數形結合的方法缺乏應用

雖然教師們都知道數形結合運用的重要性，但在具體教學中，卻缺乏靈活的應用.同時，部分數學教師對于數形結合的實際應用不夠了解，在具體教學中也不會用到該方法，且學生具備向師性，這就使教師的不了解成為學生的不了解，也無法了解到數形結合的重要性，這就使學生在解決數學問題的時候，不會應用數形結合，也不會通過數形結合促進學習效率的提高.

3 數形結合思想在初中數學解題中的應用策略

3.1 利用數軸促進絕對值問題解決

初中階段的數學教學中，教師在教學初始已引入了數軸，由于數軸和實數構建了一一對應關系，并為相反數、絕對值等全新概念等賦予了幾何意義.在對絕對值定義開展講解時，需對數軸知識進行學習，并引入實際問題.

例如，數軸上點A至原點之間的距離是3，點B至原點之間的距離是2，求A、B兩點之間的距離.

由數軸上來看，至原點的距離是3的點需分別置于原點的兩側且和原點之間的距離都是3個單位長度，因此，兩個點表示的數分別是+3與-3，也就是點A表示+3與-3，點B表示+2與-2，詳見圖1.此時，AB兩點之間的距離是1個單位長度或者是5個單位長度.

評析在本題中，絕對值的概念是能夠直接應用的，若不做圖，就會認為題目抽象，且容易丟一種情況，但將數值呈現于數軸上，不僅形象且直觀，而且還能促進數和形的有效融合，以深化學生對于知識的印象.

3.2 利用函數圖像促進方程、不等式問題解決

平面直角坐標系通常是在數軸后，又一個將代數和幾何有效銜接的工具，其擴大為有序實數對與平面中所有點都是一一對應的關系，將點轉變為線與面，更為初中時期重要的知識，即函數，提供了有效的生長土壤.而函數能夠與許多的知識有效結合，構成具有較強綜合性的數學題，如其能與不等式、方程等相聯系，通過函數圖像對不等式解的取值范圍、方程的根等進行解決.此時，教師可引導學生通過函數圖像對相關數學問題進行明了、直觀的解決，主要有以下形式.

3.2.1 函數與方程、方程組

一次函數y=kx+b（k≠0，k，b是常數）

①如果函數y=0的時候，會得出一元一次方程kx+b=0，這個時候，自變量x的值就是方程kx+b=0的解，其表示為圖像上則是一次函數圖像和x軸交點的橫坐標.

②如果x、y是兩個變量，因此，一次函數可看作為二元一次的方程kx-y+b=0.

③求取方程組的解通常就是求取兩個函數值相等的時候自變量的數值.二元一次方程組和一次函數的關系詳見圖2.

④二次函數y=ax+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）圖像和x軸的交點坐標是（x，0）、（x，0），即x、x為方程ax+bx+c=0的實數根，若y=ax+bx+c的圖像和x軸無交點，那么，方程ax+bx+c=0沒有實數根.二次函數y=ax+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的具體圖像位于x軸上方的全部點的橫坐標的集合是一元二次不等式ax+bx+c>0的全部解集，而圖像位于x軸下方全部點的橫坐標集合是一元二次不等式ax+bx+c<0的全部解集.通過圖像進行方程解答，可通過二次函數y=ax+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）和一元二次方程ax+bx+c=0之間的關系，進行圖形繪制，以做出解答.在對ax=bx+c（a≠0）進行求解時，可將y=ax和y=bx+c兩個圖像分別畫出，并找出兩個函數圖像的交點坐標.

3.2.2 函數和具體應用

具體的應用題一直屬于教師頭疼、學生害怕的題，但是，學習數學知識的主要目的就是進行實際問題的解決，也就是具體應用.因此，找出準確的方法，多加練習與總結極為重要.最為典型的就是通過平面幾何圖形，將問題圖形化，通過圖形進行問題的直觀解決，以促使問題的解答更加簡單、明了.

例如，某廠銷售一種面包，未銷售出去的可退回廠家，依據統計表明，單價為7角的時候，每天可售160個，售價每增加1角，每天少售20個，每個面包成本是5角，設面包單價是x角，每天銷售利潤是y角.

（1）通過x代數表示利潤與售賣個數的關系;

（2）求取y與x的函數關系式;

（3）面包單價為多少的時候，利潤最大？最大是多少？

分析二次函數主要反映了變量的數量關系與其變化規律的函數形式，基于此，在對具體問題和二次函數的問題進行研究時，可構建數學模型，通過二次函數具備的性質進行問題解決，通過數形結合，則能有效呈現該思想.

綜上所述，數形結合屬于極其重要的一種數學思想，在數學試題的解決中通常具有無法替代的作用，能夠將許多抽象化數學問題通過直觀形象的方式展現.因此，初中數學的解題教學中，需注重數形結合思想的運用，將復雜的數學問題簡易化，從而使學生的解題效率與準確率得以提高的同時，實現數學教學的整體質量提升.

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[責任編輯：李璟]