數形結合促進深度學習的研究

【摘要】數形結合促進深度學習的研究是文章論述的重點。經過課題組兩年堅持不懈的研究，目前該研究已取得了階段性、豐富的成果。數與形具有緊密的關聯性，它們的結合，對深度學習能起到良好的促進作用。首先，通過數形結合，學生可以清晰把握概念特征;其次，利用數形結合，學生可以精準把握數量關系;再次，依靠數形結合，學生可以聚焦突破教學疑難;最后，領悟數形結合，學生可以發展自身高階思維。因此，教師在課堂中積極做到利用數形結合開展教學，將會有力促進深度學習落實。

【關鍵詞】數形結合;深度學習;研究

【基金項目】本文系福建省霞浦縣教育科研2020年小學（幼兒園）立項課題—“數形結合促進深度學習的研究（2019x-113）”的研究成果。

作者簡介：林阿顯（1976—），男，福建省霞浦縣東關小學。

數量關系和空間形式是數學中的一對孿生兄弟。數量關系與空間形式雖然有各自的發展路徑，但它們又相輔相成，組成使數學發展騰飛的一雙翅膀。深度學習的教學是聚焦數學本質進行教學的重要方式，是當前數學課堂教學改革的重點、熱點之一。要實現數學深度學習，其中一條行之有效的策略就是做到數形結合。數不離形，形不離數，通過數形的相助、相解、相通、相悟，學生能更清晰地把握數學概念特征，更透徹地理清數量關系，更有效地突破教學疑難的局限，更快速地實現思維進階，從而促進數學深度學習的落地生根，實現數學素養的全面發展。

一、數形相助，清晰把握概念特征

數學概念是思維的產物，脫離一定的生活實際，具有抽象性。小學生因思維水平的限制，很難對抽象的概念有準確的把握。據此情況，有的老師試圖用舉例子或形象的語言來描述概念，但效果都不是很好。實踐證明，數形相助能幫助學生實現思維與概念對接，清晰把握概念特征。

（一）以形助數，理清概念

以形助數，就是把抽象的數學概念轉化成具體的圖形，這對學生理清數學概念的內涵有很好的效果。如講授“因數和倍數”時，由于學生要掌握的概念很多，即使教師在進行每個概念的教學時都循序漸進，學生還是會出現張冠李戴的現象。原因在哪呢？一方面，是教師教學時多以講授為主，平白膚淺，學生無法深入體會其中含義;另一方面，是學生沒有建立清晰的概念理解框架。為了幫助學生弄清概念的內涵，筆者采用以形助數的策略。在課上，筆者向學生提問：“你們要找誰的因數和倍數？”學生說：“12。”筆者繼續說下去：“那我們就把‘12’當中心，在圖上找出它的因數和倍數。”學生畫圖時發現，“12”的因數除了它本身，都在“12”的前面;而“12”的倍數除了它本身，都在“12”的后面，線段圖中“12”的因數和倍數明顯分布在了兩邊。在圖中，學生還發現了因數和倍數的其他特征。一個學生興奮地說：“從圖上我還明白了為什么一個數的因數是有限的，而倍數是無限的。”另外一個學生說：“我發現‘12’有三種身份，除了是‘12’本身，它也是自己的因數和倍數。”這樣以形助數的教學方式使得原本容易混淆的因數、倍數概念變得清晰，學生就能夠很好地觀察，厘清它們的邊界點，從而很好地弄清概念內涵。

（二）以數助形，把握特征

小學生空間觀念薄弱，對于一些圖形的“隱性”特征不能很好把握。這時候就需要以數助形，用數的精確性來彌補形的模糊性。如講授“圓的周長”時，教師可以引導學生先測量幾個大小不同的圓的直徑長度，再把這些圓分別滾動一周，然后探究圓的周長和直徑的關系。通過測量，學生可以發現，圓的周長都是它直徑的三倍多一些。雖然“三倍”已經很明確，但是“多一些”就很模糊，到底是多少呢？這時候，教師可以引導學生以數助形，把形的關系用數來表示，最后得出整個倍數準確的表達數字就是π。這樣把形的關系用精確的數來描述，學生就能很好地把握圓的周長是它直徑“三倍多一些”的內涵。

又如在講授“直線”時，教師可以出示一束光線，引導學生想象。光線的兩頭會向教室外延伸，穿過田野。通過觀察，學生可以發現直線是無限延長、沒有盡頭的。因此，數學中無法用任何一個數來表示直線的長度，學生可以由此領悟直線長度“無法測量”的特性。以數助形的應用，能使學生對幾何圖形的特征有更深入的發現，為他們深度學習的產生奠定基礎。

二、數形相解，精準把握數量關系

數量與數量之間的關系，有時候是復雜、潛隱的，學生由于經驗或領悟力不足，很難按常規的思路去理解它。此時，若教師采用數形相解的策略，把內在不明的數量關系明面化、路徑化，學生就能順藤摸瓜，理清數量關系，較精準地找出解決問題的方案。

（一）以形解數，發現關系

如題：“有兩個自然數甲和乙，如果把甲增加6，乙不變，甲乙的積就增加30;如果甲不變，乙增加15，甲乙的積就增加90，求甲乙兩數的積。”由于題目比較抽象，學生無法在大腦中進行運算，因此大部分學生都難以下筆。此時，教師不妨引導學生把題目轉換成圖形，以圖形來解釋題目，數量關系就會比較清楚。教師可以引導學生先畫一個長方形，長表示甲，寬表示乙，這個長方形的面積就是原來兩數的積。然后，根據條件把甲增加6，則長延長6，乙不變即寬不變;同樣甲不變即長不變，乙增加15，則寬延長15。從圖中學生不難發現：原長方形的長（甲）是90÷15=6，原長方形的寬（乙）是30÷6=5，則兩數的積為6×5=30。借助圖形的形象和可操作性，學生就能弄清楚題中數量關系的變化過程，很快地找到了解題方法。

又如這題：“鋪一條路，用每塊16平方分米的方磚鋪要800塊;若改用邊長5分米的方磚鋪，要多少塊？”不少學生錯誤使用“16×800÷5”解題，因為這些學生把“邊長5分米的方磚”理解成了“面積是5平方分米的方磚”。此時教師可以引導學生根據題意作圖，重點強調邊長5分米的“邊長”兩個字，如此學生就會明白哪里計算錯了。這樣以形解數，將抽象的數量關系展示出來，變“看不見”為“看得見”，有助于學生更精準地發現數量關系，從而促進他們的深度學習。

（二）化數為形，理解關系

在講授“時、分、秒”時，許多學生對時、分、秒的關系掌握不清楚，容易混淆。此時，教師可以制作一個特殊的鐘，時針由烏龜代替，分針由兔子代替，結合學生熟知的“龜兔賽跑”，讓學生理解分針與時針的關系。烏龜和兔子繞著鐘面進行跑步比賽，一聲令下，龜、兔開始賽跑，當兔子也就是分針跑了60個小格的時候，烏龜也就是時針才走了1個大格。這樣把時、分、秒之間抽象的數量關系，用化數為形的策略加以詮釋，學生就能很準確地理解時、分、秒的關系。

三、數形相通，聚焦突破教學疑難

學生一旦進入了學習深水區，就會遇到各種疑難和具有挑戰性的問題，這是認知發展的必然現象，也是不斷提高、錘煉學生核心素養的必經之路，所以教師要教育學生不要有畏難情緒，要主動迎接挑戰。俗話說，辦法總比困難多。此時，教學如果能做到數形相通，那將非常有利于疑難問題的成功解決。

（一）數形對比，化解難點

如講授“進位加法”時，許多學生很難明白為什么要“滿十進一”。為了讓學生形象、生動感受“滿十進一”的推導過程，筆者進行了以下操作：

1.先出示一道算式“25+28= ”，問學生這要怎么算，再動畫演示豎著擺的小棒，這些小棒捆與捆對齊，根與根對齊。

2.讓學生觀察整捆的小棒有幾捆（4捆），把它們圈起來。

3.問學生5根小棒和8根小棒加起來一共幾根（13根）;按10根1捆，夠捆成1捆嗎。學生數一數，還是夠捆成1捆的。

4.相機出示動畫，演示5根加8根就是1捆剩3根。

5.讓學生數一數現在一共有幾捆，學生發現一共5捆。

6.繼續問學生，捆與捆相加，根與根相加，現在一共是多少。

筆者邊與學生互動，邊演示課件，使學生清楚地感知進位加法的過程，明白了進位加法“滿十進一”的算理。這樣把靜止的數與運動的形對應起來，不僅為接下來的筆算進位加法提供了支持，而且也讓學生感受到知識的形成過程，這是發生深度學習的必要途徑之一。

（二）數形對照，突破疑難

如題：“客車和貨車分別從甲乙兩地同時相向而行，在離中點3千米處兩車相遇，已知客車和貨車的速度比是7∶6，那甲乙兩地的距離是多少千米？”根據筆者對班級學生的統計，題目中“速度比是7∶6”與“離中點3千米”這兩個疑難點，是學生認知上的障礙。在說不清楚、聽不明白的情況下，教師可以借助畫圖來幫助學生理解題意、理清脈絡、突破難點。對照圖形學生可以很清楚地看出，客車和貨車相遇時由于所花的時間相同，所以它們的速度比就是它們的路程比，即兩車所行的路程比為7∶6。從圖中還可以發現客車行駛的路程已超過中點3千米，貨車到中點還差3千米，客車比貨車多行的并不是3千米，而是兩個3千米，也就是6千米。一份是6千米，總共有7+6=13份，那么甲乙的路程就是6×13=78千米。通過題目和圖形的對照，題中的未知點、疑難點和關聯點就充分顯露出來，然后學生根據數量關系順藤摸瓜，就能很好地解決問題。這種數形對照的策略，不僅可以幫助學生提高題目解讀層次，而且也會幫助教師解決教學疑難點，為學生進一步發生深度學習提供有效的支撐。

四、數形相悟，促進高階思維發展

數學深度學習的一項重要特征就是促進學生高階思維的發展，數形相悟則是促進學生高階思維發展的一種有效手段。教師要利用圖形的形象性和可變性，使用多種方法構建數學模型，讓學生領悟生成多樣的解題策略，促使學生的思維變得更靈活、更富有創造性，不斷向高階思維發展。

（一）形來悟數，發展思維

如題：“霞浦游泳館原有一個長30米，寬20米的長方形游泳池。游泳館擴建時，游泳池的長和寬都增加了10米。游泳池的面積增加了多少平方米？”這是一道形的問題，如果以形解形，學生們只要畫個圖，問題就解決了。但以形解形的思路過于常規，沒有新意，因此為了進一步挖掘本題的思維價值，讓學生體驗數的深刻性，筆者鼓勵學生，不斷重組圖形，去尋找更多富有思維挑戰性的做法。學生邊畫圖，邊探索，悟出了以下多種解題新方法：

1.游泳池增加的面積是40×10+20×10=600（平方米）;

2.游泳池增加的面積是30×10+30×10=600（平方米）;

3.游泳池增加的面積是30×10+10×10+20×10=600（平方米）;

4.游泳池增加的面積是（30+10+20）×10=600（平方米）。

隨著圖形組合的不斷創新，學生對數的感悟也在不斷升級，利用形來悟數的過程，就是學生主動探索和思維積極生長的過程。教學是否有深度，首先得看學生的思維是否有深度，學生對問題解決的多元性和創新性是否有足夠的感悟。

（二）數來悟形，增長智慧

當學生對事物的認識達到一定高度的時候，就會擺脫形的束縛，上升到理性認識，但這個理性認識還不是很成熟，學生需要進一步借助數來領悟本質，增長智慧。如教授“三角形的三邊關系”時，筆者讓學生擺各種三角形來領會“三角形三邊關系”，體現用數來悟形。教學片段如下：

師：通過擺三角形，我們發現了3+4﹥5這樣的關系式，你還有其他關系的發現嗎？

生：3+4﹥5，3+5﹥4，5+4﹥3

師：總結起來呢？

生：“任意”兩邊長度之和大于第三邊，就可以圍成三角形。

師：換一個三角形也有這樣的關系嗎？算算看。

生：3+8﹥10，3+10﹥8，8+10﹥3，另一個三角形也是存在這樣的關系的。

師：3厘米、4厘米、8厘米的這三根小棒不能圍成三角形，但是4+8﹥3，也兩邊長度之和大于第三邊呀，怎么不能圍成三角形呢？

生：因為存在一組兩邊長度之和小于第三邊，沒有滿足“任意”兩邊長度之和大于第三邊，所以不能圍成三角形。

學生原先認為能圍成三角形的，僅僅是“兩短邊長度的和大于最長邊”的這一關系。通過操作、辨析，學生能抽象出“三角形任意兩邊的長度的和大于第三邊”這層更深刻的關系。就在學生們思緒高漲的時候，老師提出個質疑，這個質疑看似“回馬槍”，實際上是提示學生用數來悟形，進一步推動學生思辨，以使學生達到對形的最高理性覺悟，閃耀智慧之光。

結語

深度學習是當前課改的重要理念。深度學習，深在概念的清晰、關系的明確、疑難的解決、思維的提升、智慧的增長。數學課堂要實現深度學習教學，離不開數與形的結合教學，這不僅是數學發展的特性，也是學生認知發展的需要。數與形，一表一里、一顯一隱，互相交織，相得益彰，能有力地促進深度學習的發生。在課堂教學中，我們要把數形結合與深度學習教學交融，為學生學好有價值的數學服務，為提高學生全面的數學素養服務。

【參考文獻】

[1]楊奇星.小學數學教學中“數形結合”探討[J].當代教育論壇（教學研究），2011（02）：68-70.

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