“一題兩課”案例式教學方法研究

曹金鳳　王志文　劉鵬　撒占友　李策

[摘 要] “彈性力學與有限元”“有限元分析軟件及應用”兩門課程是各大高校理工科碩士研究生的學位課和專業課，占據十分重要的地位。“彈性力學與有限元”課程公式多，推導過程煩瑣，學習難度大，而“有限元分析軟件及應用”課程則重點關注工程應用，卻又離不開“彈性力學與有限元”課程的理論支撐，二者既有聯系，又有差異。為了提高研究生對兩門課程的學習效果和學習效率，達到學以致用、研以致用的目的，對“一題兩課”案例式教學模式進行探索，選取“彈性力學與有限元”課程中的課后練習題，通過理論分析和有限元仿真分析結果進行比較，找出兩門課程學習過程中的重點、難點、差別，幫助學生更加生動形象地理解“彈性力學與有限元”的知識，更有助于將理論方法與工程實踐結合，實現舉一反三、觸類旁通的學習效果。該教學模式已成功應用于5屆研究生的教學過程中，效果良好，值得推廣使用。

[關鍵詞] 彈性力學與有限元;有限元分析軟件及應用;案例式教學;教學模式;課程改革

[基金項目] 2020年度山東省教育廳山東省專業學位研究生教學案例庫項目“‘有限元分析軟件Abaqus及應用’案例庫建設”（SDYAL20112）

[作者簡介] 曹金鳳（1978—），女，山東青島人，博士，青島理工大學機械與汽車工程學院副教授，主要從事計算力學與Abaqus軟件數值模擬研究;王志文（1995—），男，山東臨沂人，碩士，青島理工大學機械與汽車工程學院2020級機械專業碩士研究生，研究方向為Abaqus有限元仿真與輪胎的設計仿真一體化;劉 鵬（1990—），男，山東青島人，博士，青島理工大學機械與汽車工程學院副教授（通信作者），主要從事故障診斷與可靠性分析、海洋工程裝備研究。

[中圖分類號] O343.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）16-0157-04 [收稿日期] 2021-07-28

引言

“彈性力學與有限元”課程主要研究變形體在外來因素作用下的位移、應變和應力的分布規律，是機械工程、土木工程、力學相關專業的研究生必修課程[1]。有限單元法是力學、數學、物理學、計算方法、計算機技術等多種學科綜合發展和結合的產物，是隨著計算機技術的廣泛應用而迅速發展起來的一種數值分析方法，其基本思想就是“化整為零”，將連續的、理論上具有無限個自由度的模型離散為有限個單元、有限個自由度的模型，借助計算機、大型工作站的超強計算能力，解決實際工程問題，即將復雜的連續體劃分為有限個簡單的單元體，單元體之間僅通過結點相連，將連續場函數（偏）微分方程的求解問題轉化為有限個參數的代數方程組的求解問題[2-6]。

“彈性力學與有限元”課程理論性強，公式多且表達式復雜，對學生的數學要求較高[7]。目前，大多數高校采用傳統的教學模式，即以理論教學為主，通過板書、理論推導、例題講解等方式講授，由于學生缺乏實際工程經驗，學習過程中易出現難理解、難應用、難掌握的詬病。為了提高學習興趣，將“彈性力學與有限元”課程中的基本概念、基礎知識與實際工程密切聯系，本文提出了“一題兩課”案例式教學方法，即對于同一彈性力學問題，用“彈性力學與有限元”和“有限元分析軟件及應用”兩門課程的知識體系來解決，通過比較分析結果，找出兩門課程的異同，不僅學會知識，掌握分析方法，而且達到舉一反三、觸類旁通的效果。

一、“一題兩課”的教學案例

（一）選取一題

選擇徐芝綸編寫的《彈性力學簡明教程》（第五版）[8]3～8題經典矩形截面長豎柱問題作為教學案例，如圖1所示。對于矩形截面長豎柱，密度為ρ，在右側面受均布剪力q作用，試求解各個應力分量。為了便于將理論解與有限元軟件數值解進行比較，假設模型尺寸和荷載如下：h=50m，b=3m，ρ=7800kg/m3，q=10Pa，材料為線彈性，彈性模量E=210GPa，泊松比，構件處于線彈性小變形階段。

（二）彈性力學與有限元的理論解

采用半逆解法求解，首先根據已有力學知識分析長豎柱的應力分布規律。假設某個應力分量的函數形式，反推出應力函數并使其滿足相容方程和應力邊界條件。根據題目要求和材料力學課程相關知識，易知該問題屬于偏心受壓，切應力的分布是x的函數，故假設：

（三）有限元分析軟件及應用的數值解

實際工程問題往往模型、荷載和約束都十分復雜，很難獲得理論解。通常都需要借助大型有限元分析軟件Abaqus、ANSYS、ADINA等獲得數值解。本文在大型非線性有限元分析軟件Abaqus中建立相同的矩形截面長豎柱模型，施加相同荷載和約束，重點查看單元網格尺寸、單元類型不同時相同位置的應力分析結果。

1.建立有限元模型。在大型非線性有限元分析軟件Abaqus[9-11]中建立長豎柱有限元模型，高度和寬度分別為h=50m，b=3m，定義線彈性材料參數，楊氏模量和泊松比分別為2.1×1011Pa和0.3，材料密度為7800kg/m3。

2.定義邊界條件和施加載荷。在Initial分析步中設置邊界條件為下端完全固定，施加重力荷載，對其右表面施加切應力荷載，大小為10N/m2，方向向量為（0，-1，0）。

3.設置網格種子密度和單元類型，劃分網格。本文選擇兩種單元類型，即CPS4R（四邊形）和CPS3（三角形）單元，網格種子密度分別設為1、0.5，網格劃分完畢后分別如圖2和圖3所示。

4.數值解。采用Abaqus軟件對該模型進行模擬應力分析，比較不同單元密度、不同單元類型對其結果的影響，設置單元格密度分別為1和0.5，單元形狀分別為四邊形、三角形，觀察4種不同工況的仿真結果如圖4所示，可以發現4種工況的模擬結果較為接近，最大應力均在底部。

二、比較與討論

通過使用理論解和數值分析解兩種方法，對長豎柱模型在重力和切應力作用下的應力結果進行分析。為了提高學生的學習效果，深刻理解和掌握兩門課程的差異，下面對計算結果進行詳細的分析比較。

由于本算例只受到重力和沿著豎向切應力作用，因此，沿x軸方向的應力很小，故只對軸應力進行分析。為便于比較，特選取（3，-15）、（2，-12）、（1，-8）、（0，-5）四個點，對四邊形單元、網格密度為1的應力分析解與理論解應力進行比較。隨著y坐標的減小，應力值逐漸增大;理論解與Abaqus數值分析解變化趨勢一致，通過對比Abaqus數值模擬結果與理論計算值，發現各點理論應力與分析應力差值在幾十帕內，證明數值模擬結果較準確。對于坐標為（3，-15）的點，“彈性力學與有限元”課程的理論解為1.1468Mpa，在Abaqus軟件中選擇不同單元類型、不同網格密度的應力分析結果進行比較。選擇單元類型為四邊形，網格密度分別為0.5、1，單元階次為二次單元時的數值解為1.1468Mpa，二者差值為0，線性單元的數值解分別為1.14678Mpa、1.14676Mpa，誤差分別為0.017%、0.035%。當選擇三角形單元、網格密度為0.5和1時，二次單元的數值解分別為1.1478Mpa、1.14813Mpa，誤差為0.017%、0.035%，線性單元的數值解分別為1.13676Mpa、1.12332Mpa，誤差為0.875%、2.047%。

由上述結果可以看出：單元網格越細密，計算結果越準確，與“彈性力學與有限元”課程的理論學習一致;比較三角形和四邊形單元的分析結果，可以發現：本算例中，四邊形單元的計算結果更加準確，原因是本模型為規則長方形，選擇四邊形單元求解精度更高;比較單元階次可以看出，二次單元比線性單元更加準確，原因是二次單元增加了中間插值節點，可以擬合更復雜的應力形狀。上述研究結論均符合兩門課程的理論要求，同時進行相互驗證和補充，達到舉一反三、觸類旁通的教學效果。

結語

本文將“彈性力學與有限元”課程與“有限元分析軟件及應用”兩門課程聯系起來，通過對同一個算例進行理論解和有限元數值解的分析，以問題為導向，培養學生解決實際工程問題的能力。通過建立模型、設置參數、工況定義、分析結果提取等對矩形長豎柱進行有限元分析，比較異同、查找規律，觸類旁通。“一題兩課”案例式教學，在傳統授課模型的基礎上，注重學生分析問題、解決問題能力的培養，不僅能夠大大調動學生學習的積極性，更能夠讓學生將所學理論知識變為己用，真正實現學以致用、研以致用的終極目的。

參考文獻

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Abstract： The course of Elastic Mechanics and Finite Element and the course of Finite Element Analysis Software and Application are the professional courses for the postgraduates of science and engineering majors in colleges and universities， which occupy a very important position. The course of Elastic Mechanics and Finite Element has many formulas， and the deduction process is cumbersome and difficult to learn， while the course of Finite Element Analysis Software and Application focuses on engineering application， but it is inseparable from the theoretical support of the course of Elastic Mechanics and Finite Element. The two courses are related to each other and different from each other. In order to improve the learning effect and efficiency of the two courses， and achieve the purpose of learning for application and research for application， this paper explores the case-based teaching mode of “one question - two courses”， selects the after-class exercises in the course of Elastic Mechanics and Finite Element， compares the results of theoretical analysis and finite element simulation analysis， and finds out the key points， difficulties and differences in the learning process of the two courses， so as to help students understand the knowledge of Elastic Mechanics and Finite Element， help to combine the theory and method with engineering practice， and achieve the learning effect by analogy. This teaching mode has been successfully applied in the teaching process of graduate students for 5 years， which is worthy of promotion and use.

Key words： Elastic Mechanics and Finite Element; Finite Element Analysis Software and Application; case-based teaching; teaching mode; curriculum reform