創設多樣教學情境 全面發展數學思維

桂佳

[摘? 要] 在新課改的推動下，培養學生良好的思維能力已成為高中數學的重要教學目標之一，然教學中部分教師往往重視學生邏輯思維能力的培養而忽視合情思維的價值，使學生的思維過于單一、保守，課堂氣氛沉悶. 為此，教學中應重視合情思維的發展，通過創設懸疑、陷阱、模型等教學情境，充分調動學生的已有知識和已有經驗，發揮合情思維的優勢，為培養學生自學能力和創新能力奠基.

[關鍵詞] 思維能力;教學情境;創新能力

數學是一門非常嚴謹的學科，邏輯思維在數學學習中的地位和作用是不可逾越的. 在高考中對于學生邏輯思維能力的考查占首位，然在實際解題中僅僅依賴邏輯思維能力往往是不夠的，在解題前需要發現、猜想等思維過程，這些思維活動往往是合情思維提供的. 同時，合情思維給數學思維提供了更廣闊的發展空間，其在激發學生數學潛能，培養學生良好的數學思維習慣和思維品質等方面也有著積極的意義，因此在教學中要重視合情思維的發展. 那么如何培養學生的合情思維呢？筆者認為，教師在教學中可以創設豐富多彩的教學情境，為學生提供一個獨立思考、和諧發展的平臺，充分調動學生已有經驗和已有認知進行積極的猜想和大膽嘗試，從而讓學生具備獨立發現問題和解決問題的能力，進而推動學生創新能力的提升.

下面筆者就如何創設情境發展學生的合情思維談談幾點自己的認識，供同行參考.

[?] 巧設懸念，激發探究熱情

巧設懸念是數學情境創設的常用手段之一，其目的是通過懸念激發學生的求知欲，使其產生一種欲罷不能的探究熱情，此時學生的思維更加活躍，精神更加集中，學生會積極地調動已有經驗嘗試解決問題. 然學生利用已有經驗求解時或方法較復雜，或難以求解，因此需要引入新知識或新方法，從而使學生產生對新知的探究欲望，在這樣的情境下學習必然會獲得事半功倍的效果.

例1 “對數”的引入.

師：假如A4紙的厚度為0.01 cm，若將其對折，其厚度是多少？

生1：0.02 cm.

師：繼續對折呢？

生2：0.04 cm.

師：如果對折20次呢？

生3：大概2 cm.

師：只有2 cm嗎？

接下來學生憑直覺又說出了10 cm，50 cm.

師：假如將其對折20次，可能有10層樓那么高. （教師給出答案后，教室一片嘩然，學生露出了驚訝的表情）

師：如果你們可以將其對折27次，那么你們就可以自建一個珠穆朗瑪峰了.

教學中教師首先讓學生嘗試對折，形成初步認識，體驗“做數學”的快樂，在無法折疊時讓學生運用合情思維大膽地猜測，雖然合情思維所反饋的結果可能是假的，然其潛移默化地激發了學生探究的積極性. 通過懸念情境的創設，激發了學生的好奇心和求知欲，學生對接下來的教學內容自然會產生濃厚的興趣，這有利于生機勃勃課堂的生成，有利于合情思維的發展.

[?] 巧設陷阱，制造沖突

數學概念、公式、定理較多，在使用時常常因忽略適用條件而造成錯誤，因此在教學中可以在易錯點設置“陷阱”，制造思維沖突，使學生先“誤入歧途”，通過自查、互查、探究等學習過程跳出“陷阱”，從而培養思維的深刻性和嚴謹性.

例2 已知a，b∈R+且a+b=1，求證：

a+

b+

≥.

本題教師預設了“陷阱”，為了充分展現學生的問題，教師巡視學生的求解過程并讓學生進行板演，以讓學生充分暴露問題，進而查缺補漏.

錯解1：因為a+≥2，b+≥2，所以

a+

b+

≥4.

錯解2：

a+

b+

=ab+++，因為ab+≥2，+≥2，所以

a+

b+

≥4.

錯解3：因為ab≤

=，+≥2，所以

a+

b+

=ab+++≥6+ab≥6+=.

顯然錯解1和錯解2在應用基本不等式時忽略了“相等”這一關鍵要素，兩種方法若要使等號成立，則a=b=1，顯然這與已知條件a+b=1相悖. 錯解3的錯誤較隱蔽，其忽略了異向不等式是不能相加的.

教學中讓學生充分展示其思維過程并引導其找到思維盲區，可以有效地引導學生走向合情思維的發展之路. 錯誤是寶貴的生成性資源，其可以充分地暴露問題，加以正確引導，不僅可以實現查缺補漏的目的，而且有利于思維的全面發展.

[?] 巧借模型，化抽象為具體

合情思維雖然在某種程度上存在一定的主觀性，但對于一些題目，若用常規思維去求解往往很困難，而通過直覺去觀察卻很容易得出答案，因此在解題前可以應用合情思維進行大膽判斷，充分地挖掘隱含的信息，聯想已有經驗進行合理的建模往往會獲得意外的驚喜.

例3 解方程組x+y+z=1，

x2+y2+z2

=，

x3+y3+z3

=.

本題通過觀察很容易求得x=y=z=，然合情思維具有一定的猜測性，其不像邏輯思維那樣嚴謹，因此若求解時直接給出答案x=y=z=顯然理由不夠充分;然若采用直接代入法進行求解顯然計算量過大，求解困難，因此在解題時需要另辟蹊徑. 通過觀察本題的特點，可以將x+y+z=1聯想成平面方程，即表示在x軸、y軸、z軸上的截距都為1的平面;將x2+y2+z2=聯想成球面方程，即表示以原點為球心，為半徑的球面. 那么x+y+z=1與x2+y2+z2=的解應為兩面的交點坐標，球心（0，0，0）到平面x+y+z=1的距離d===球半徑，故可知平面x+y+z=1與球面x2+y2+z2=相切，切點的坐標為

，，

，此為兩方程唯一的實數解. 將結果代入x3+y3+z3=，容易得出其同樣適用. 故方程組的解為x=y=z=.

本題利用合情思維大膽地將方程構建成熟悉的數學模型，進而將抽象的代數問題轉化為幾何模型，模型同已有經驗有機結合，從而順利地解決了問題.

[?] 利用多媒體教學情境，活化思維

隨著信息技術的發展，計算機在數學教學中所發揮的作用日趨明顯，抽象的動態運動過程通過計算機進行模擬使之變得更加直觀具體，有些難以用語言表達的信息通過轉化使之更加通俗易懂. 因此，在教學中適時地應用多媒體可以有效突破教學的重難點，發展學生的合情思維.

例4 如圖1所示，AB為過橢圓+=1（a>b>0）的左焦點F的弦，過O作弦AB的垂線，垂足為M，求點M的軌跡方程.

為了讓學生更加直觀地感受點M的運動過程，教師運用了幾何畫板進行演示：拖動點A在橢圓上轉動，跟蹤點M，得到點M的運動軌跡如圖2所示，其軌跡為一個圓. 分析軌跡后，該如何求解呢？教師引導學生進行小組交流，合作解決.

生4：設弦AB所在直線的斜率為k，則與其垂直直線的斜率為-，將兩直線方程聯立并求出交點坐標即為M的坐標.

師：是一個辦法，那么該如何求解呢？

生4的方法是學生常用的方法，然本題若用此方法求解顯然很難計算. 學生嘗試消去參數k來得到圓的軌跡方程，然因計算過于復雜，所以未能得出答案.

師：看來生4的思路簡單，但是求解過程復雜，我們能不能找到更為簡單的方法呢？

生5：根據圖2可以得到OF為圓的直徑，是否可以利用這一條件呢？

師：很好的發現，現在沿著這個思路，看看能不能找到計算方便的方法呢.

生6：因為OM⊥AB，所以OM2+

FM2=

OF2. 若設點M的坐標為（x，y），點F的坐標為（-c，0），則x2+y2+（x+c）2+y2=c2，即

x+

+y2=

.

生6給出答案后，大家非常驚訝：原來可以這么簡單！大家還在回顧生6的解題策略時，又有學生提出了新的想法.

生7：其實本題給出的橢圓方程就是一個陷阱，引導我們將證明的重心都放在理解橢圓方程和橢圓圖像上，其實仔細觀察后不難發現，本題只與原點O和點F的坐標有關，與橢圓的弦AB并沒有關系，因此可以將題目進行轉化，即“過定點O（0，0）和定點F（-c，0）作兩條互相垂直的直線，垂足為M，求點M的軌跡方程”.

教學中，教師通過多媒體引導學生觀察動點M的運動軌跡，為下面的探究做了充分的準備. 學生首先利用已有經驗采用解方程組的方式求解點M的軌跡，求解時發現計算過程復雜，此時教師并未直接給出答案，而是鼓勵學生繼續觀察，尋找最優的解決方案，生6給出的解題方案拓寬了學生的視野，將探究推向了高潮，生7對題目的轉化表明思維得到了進一步升華.

引導學生將抽象、陌生的數學問題轉化為具體、熟悉的數學經驗是重要的解題手段，那么，若想轉化得更加自然流暢，則離不開教學情境的精心設計. 教學中，適時適當的情境創設可以充分調動學生的積極性，使學生通過多角度觀察和多方位思考調動其直覺思維，進而按照已有經驗進行合理的遷移和建構，從而進一步培養和發展學生的合情思維.