磁力密度曲線的爬壁機器人統一優化設計

尹海斌,張 罕,曹建國

(1.湖北省數字制造重點實驗室, 武漢 430070；2.武漢理工大學 機電工程學院， 武漢 430070；3.北京科技大學 順德研究生院, 廣東 佛山 528399;4.北京科技大學 人工智能研究院， 北京 100083；5.北京科技大學 機械工程學院， 北京 100083)

0 引言

隨著人力成本的增加和科技發展的需求，爬壁機器人大量應用于社會生活的各個領域[1]。它不僅能高效取代人工作業，而且特別適合臨空或高危環境[2-7]。無論這些爬壁機器人是負壓式、磁吸式、仿生粘附[8-9]，還是電極吸附[10]等，它們都屬于移動型機器人，需要盡量減小整機質量，否則會影響運動性能。特別是采用電池組供電時，冗余的結構質量不僅不符合節能減排要求，還會降低機器人的續航能力。因此，輕量化設計是爬壁機器人的重點研究內容之一。

爬壁機器人的輕量化設計主要有：一是選擇輕質材料實現輕量化設計[11]，是一種微觀結構優化方法；二是采用拓撲優化減少冗余材料來提高輕量化程度[12]，是一種宏觀結構優化方法。通過結構優化可以提高爬壁機器人的輕量化程度[13-14]，但只考慮結構不考慮電磁動力對結構的影響，不是最優設計方案。因此，還需要考慮電磁動力對輕量化的影響[15-18]。

電磁動力的優化對機電設備輕量化設計有重要意義，與結構之間相互影響、彼此關聯。由于電磁動力和傳動系統質量之間存在映射關系[19]，所以結構優化不僅可以減小結構本身的質量，而且可以降低驅動力矩，進而降低電機的質量，致使機電設備質量進一步減小，這種質量下降的動態過程反過來又會促進結構的優化。因此，同時考慮二者之間的關聯性才能最大程度降低整機質量。Yin等[20]通過構建機械臂的結構與動力的統一描述模型，定量描述了結構變量與動力變量之間的關系，利用統一優化方法完成了機械臂的輕量化設計。這種方法可以推廣到含有電機動力的機電設備輕量優化設計中，但其只考慮了電機動力，沒有考慮磁吸附這類電磁動力。

對于磁吸附爬壁機器人而言，磁吸附也屬于電磁動力，是除結構和電機之外需要重點研究的對象。Cai等[21]設計了擁有新型永磁輪的磁吸附爬壁機器人；胡鳳菊等[22]設計了行走在壓力容器壁上的磁吸附爬壁機器人；丁問司等[23]設計了含有永磁萬向輪輔助吸附機構和從動輪浮動機構的磁吸附爬壁機器人。這些設計沿用了傳統的集成設計方法，先給出結構后設計磁吸組件和選擇電機，但沒有進行優化設計。陳勇[24]介紹了一種基于Halbach永磁陣列的可變磁力吸附單元，對其結構參數進行了定量分析和優化。但是，吸附裝置中增加了驅動電機和傳遞齒輪，導致吸附單元質量增加。范召艦[25]利用永磁體磁極同名相對陣列排布方式增大磁吸附力并對主要結構參數進行優化，減小了磁輪質量，卻忽略了輕量化的磁輪對受力分析的影響。張大偉等[26]設計了一種帶全向永磁輪的微型爬壁機器人，以最小驅動力矩為目標對主要尺寸參數進行了優化，然而沒有對機電傳動部分做進一步的分析和優化。

針對上述問題，本文中將電機動力與磁吸附力統稱為電磁動力，通過建立磁吸附爬壁機器人的結構與電磁動力的統一描述模型，定量分析磁吸附爬壁機器人的結構與電磁動力之間的相互影響規律和爬壁機器人質量分布規律。在此基礎上，提出了基于磁力密度曲線的統一優化方法，優化設計了更加輕量的磁吸附爬壁機器人。這一方法將彌補現有磁吸附爬壁機器人輕量優化設計中的不足，進一步拓展了機電設備統一優化設計的適用范圍。

1 多學科的統一描述

磁吸附爬壁機器人的電磁動力來源于兩大核心模塊：磁吸附組件和驅動組件，分別為機器人提供磁吸附力和驅動力矩。對于輕量化設計，同樣的電磁力輸出，希望電磁力轉換部件越輕越好，因此轉換部件的優化設計是重點。但是，磁吸附爬壁機器人電磁力轉換部件優化會受到結構的影響，反過來又會影響結構的優化。為了弄清楚結構與電磁動力之間如何相互影響爬壁機器人的輕量化設計，需要建立一個能夠評估結構與動力之間相互關系的模型，如圖1所示。

圖1 多學科的統一描述

首先，通過結構力學分析可求取一定結構需要的磁吸附力Fm和驅動力矩Td；其次，利用電磁力轉換部件的質量與電磁力的映射關系，本文定義為磁力密度，分別表示為md1=f1(Fm)、md2=f1(Td)，可計算出對應的部件質量。最后，將計算的質量反饋給結構，重新優化設計結構，并重復上述兩步，通過反復迭代計算，可優化設計整個磁吸附爬壁機器人。電磁力密度將機器人的結構與動力聯系了起來，建立起多學科的統一描述，基于這種描述的優化方法稱為統一優化。

統一優化方法建立了爬壁機器人的結構與電磁力的定量關系，有利于機器人的整體優化。多學科知識普遍適用于機器人技術[27-31]，爬壁機器人優化設計是典型的多學科的優化問題：機械學科涵蓋了靜力學分析、結構優化和動力學分析；電磁學科主要涉及磁力密度優化。為了提出統一優化方法，多學科理論具體內容介紹如下：

1.1 結構設計

設計了一款適用于清潔金屬面上水泥污垢的磁吸附爬壁機器人，受限于工作空間與電池供電，機器人不但要限制外型尺寸還需要降低重量和驅動功率，整體設計結構如圖2所示。

1.全向輪；2.驅動組件；3.底板及連接座；4.清潔模組；5.磁吸附組件

驅動組件由電機和行星減速機組成，直接驅動全向輪；底板及連接座固定各零部件；清潔模組由電機、鋼絲刷輥、皮帶等組成，通過摩擦墻面清潔污漬。盡管磁輪結合了磁吸附組件及運動輪的特點[32]，但輪上只有部分磁鐵處于工作狀態，導致磁體利用率不足。因此，對稱分布于底部的磁吸附組件采用C型結構，可提高永磁體利用率。

為了降低結構質量，需要設計合適的機器人底板結構，其尺寸變量如圖3所示。其中a為底板平頂寬度；r為中心圓半徑；l為平頂到中心的距離；t為板厚。考慮到平頂寬度及平頂到中心的距離會影響磁力裝置的受力和安裝，可依據設計條件固化a和l的值簡化設計流程，因此機器人結構設計變量可表示為Xs=[r,t]。

圖3 底板設計變量圖

1.2 靜力學分析

考慮到爬壁機器人的使用安全性，機器人非作業狀態需要穩定吸附在金屬墻面上，應滿足2個原則：一是不從墻面滑落；二是在墻面上不發生傾覆。

機器人靜止時力學模型如圖4所示。圖中，Fi和Ni分別表示磁吸附組件受到的吸附力以及輪子受到的支反力(i=1～3)；Nc為墻面提供給清潔輥筒的支反力；Ffi為萬向輪與墻面間的靜摩擦力；Ffc為清潔滾筒與墻面間的靜摩擦力；μ1、μ2分別表示全向輪、鋼絲刷輥二者與墻面間的摩擦因數；θ為金屬墻面傾斜角；G為機器人重力；A點為質心；B點為輪與墻面間的接觸點，同時也是傾覆趨勢支點。機器人在X、Y軸方向受力平衡，以及繞B點力矩平衡，可列平衡方程：

(1)

(2)

依據磁吸附組件分布特點，可得F1=F2=F3，N2=N3，假設μ1=μ2=μ，聯立式(1)和(2)可得：

(3)

(4)

(5)

圖4 機器人靜力學模型圖

1.3 動力學分析

機器人在墻面爬行時，除需滿足上述2個原則外，還需滿足的原則為：電機能驅動全向輪并使得機器人各支點能貼緊墻面。

假定機器人行走時不打滑，當其沿Y軸正向移動，其中一輪在最下方且輪軸線與Y軸平行，此時驅動機器人所需力矩值最大，如圖5所示。其中，Ff2，Ff3分別為上端兩輪提供的正向摩擦力；Fdc為清潔模組工作時的反向阻力。令R為全向輪半徑，依據驅動組件分布特點，有Ff2=Ff3，M1=M2=M3，由動力學模型列平衡方程：

(6)

Ff1=μN1,M2≥Ff2R

(7)

將Fi用Fm替代，聯立式(6)和(7)，乘以安全系數S2，可得驅動力矩：

(8)

圖5 機器人動力學模型圖

1.4 磁力密度優化

為了降低磁力裝置質量，需要建立磁力裝置設計變量與電磁動力之間的聯系，以最大磁力密度為條件可以優化磁力裝置設計變量。

1.4.1磁吸附力密度優化

磁吸附組件除了提供吸附力，也是機器人質量組成的一部分，結合式(3)—(5)可知，磁吸附組件質量與機器人質量相互影響。為了評估這種影響，定義磁吸附組件的磁力密度為：

ρ1=Fm/md1

(9)

眾所周知，對于機器人輕量化設計，磁力密度越大越好。為了計算磁吸附力，可依據電磁特性設計磁吸附組件的結構，其尺寸變量如圖6所示。

圖6 磁吸附組件設計變量圖

圖6中，g為氣隙；L和Hi分別軛鐵的長度和厚度；lm和Hm分別為永磁體寬度和高度；Dp為磁吸附組件的深度；Hs為磁吸附組件的頂面與墻面間的距離；Pg為永磁體之間的間隙。由尺寸鏈可得：

(10)

上式說明磁吸附組件部分變量相互關聯，其設計變量可表示為Xd1=[g,Hm,lm,Pg,Dp,Hi]。磁吸附力密度優化可描述為：

(11)

式中：Cd1為磁吸附組件約束條件。

1.4.2驅動力矩密度優化

驅動組件的設計需要綜合考慮減速機的傳動比及效率對電機額定設計性能的影響。為了獲得高力矩密度，可設計結構緊密的盤式永磁(axial flux permanent magnet,AFPM)電機，包含雙轉子和鐵芯。電機定子通過螺釘固定到殼體上，電機軸一端連接編碼器，另一端連接減速機，最后通過聯軸器將力矩傳遞到輪子上。與電機額定力矩Tm相關的表達式為：

Td=ξηrTm

(12)

式中：ξ和ηr分別表示減速機的減速比和效率。同樣，為了評估驅動組件質量與機器人質量間的相互影響，定義驅動組件的磁力密度為：

ρ2=Td/md2

(13)

減速機選用標準件，依據其特性并結合式(12)設計電機的結構，如圖7所示。其中，導體線徑d需按照國標標準線徑進行處理，每相繞組匝數N按整數處理；Dmo，Dmi分別表示永磁體的內外徑；hm為永磁體厚度；Lc為鐵心長度；δ為氣隙，考慮安裝方便，可取δ=1 mm。因此，電機設計變量可描述為um=[Dmo,Dmi,hm,Lc,d,N]。

圖7 電機設計變量圖

電機外殼用于固定電機內部零件以及連接減速機，其結構變量可表示為uh=[Wh,Dh,λh,Dg]，其中Wh，Dh，λh，Dg分別表示殼體的長度、直徑、厚度以及前端蓋與減速機配合的外徑。由于uh變量并非獨立，與um有關，可表示為uh=F(um)，因此驅動組件設計變量可表示為Xd2=[Dmo,Dmi,hm,Lc,d,N]。

驅動力矩密度的優化可描述為：

(14)

式中：Cd2為驅動組件約束條件。

電機主軸是電機的主要運動部分，鐵心的存在會使得轉子受到較大的軸向磁拉力，因此需要校驗其強度與剛度。電機結構強度與剛度限制條件Cm可以描述為：

S3σm1≤σy1,S3σm2≤σy2,S3dr≤dlr

(15)

式中：S3為安全系數；σm1，σm2分別為軸和轉子的最大等效應力；σy1，σy2分別為軸和轉子材料屈服極限；dr，dlr分別為轉子的變形量及最大允許變形量。

2 統一優化方法

2.1 約束條件

在整個優化迭代過程中，結構設計變量Xs和電磁動力設計變量Xd會不斷更新，因此需要相應的結構約束條件Cs和電磁動力約束條件Cd保證更新的結果仍在約束范圍內，其中Cd=[Cd1,Cd2]。依據強度與剛度條件和給定的設計變量范圍，結構約束條件Cs的表達式為：

(16)

(17)

式中：Fp為磁吸附組件實際提供的吸附力；S5為安全系數；σcs和dcs分別表示軛鐵最大的等效應力和變形量；σlcs和dpcs分別為所選材料的屈服極限和允許變形量。對于驅動組件，考慮電機效率ηm以及驅動組件設計變量范圍，可得約束條件Cd2：

(18)

2.2 目標函數

統一優化目的在于滿足約束的條件下，減輕機器人重量。目標函數可表示為：

(19)

式中：fs(Xs)、fd(Xs)分別表示結構質量和電磁動力裝置質量；X表示全體設計變量。機器人總質量為：

mr=f(X)+mot

(20)

式中：mot為機器人其他部件質量——包括清潔模組、電池、控制器等。

2.3 優化流程

統一優化流程如圖8所示。首先，保持電磁動力設計變量固定不變，通過ANSYS內置優化算法搜索最優的局部結構設計變量值。之后，更新機器人質量，保持結構及電磁動力設計變量值不變對機器人進行靜力分析，求得所需磁吸附力，并在MAXWELL中進行仿真，得到磁吸附組件設計變量最優值并計算對應質量。最后，將優化得到的變量及質量更新到動力學模型中，獲得驅動組件的力矩及電機額定力矩，通過驅動力矩密度優化過程，求取驅動組件設計變量最優值并計算對應質量。比較判斷新舊目標函數的差值，直到小于預設值為止，否則進入下一循環。

統一優化過程中，聯合MAXWELL優化磁吸附組件的流程如圖9所示。將參數化模型導入WORKBENCH，選擇MOGA優化模塊，設置目標與約束條件，系統自動生成變量值并調用MAXWELL程序進行仿真運算，然后通過有限元分析磁吸附組件強度與剛度，最后進行收斂條件的判斷，滿足則程序結束，否則進行下一輪迭代。

圖8 統一優化流程框圖

緊隨其后的驅動力矩密度優化流程如圖10所示，主要應用了復合算法。在Matlab中，程序初始會依據設定生成變量集合，然后通過目標函數進行篩選和排序，并分別標記最好點與最壞點。如果新點的適應性優于最壞點，那么最壞點——目標函數最小點，會被新點替代，否則調整映射操作產生新點。循環過程持續進行，直到最好點和最壞點對應函差值小于給定誤差，得到的設計變量值會通過WORKBENCH模型驗證電機的結構強度與剛度，直到結果滿足條件Cm則程序終止，否則重新生成變量集合。

圖9 磁吸附力密度優化流程框圖

圖10 驅動力矩密度優化流程框圖

3 實例分析

3.1 參數及初始化

本算例中機器人外形尺寸受工況限制，結構參數表示為：a=90 mm，l=220 mm，La=68 mm，Lb=341 mm，Lc=450 mm，H=102 mm，Lg=250 mm，Lu=100 mm，Hsc=54.6 mm，摩擦因數μ=0.3，安全系數取S1=1.4，S2=1.1，S3=S4=S5=1.2。機器人主體由6061-T6構成，屈服極限σls=270 MPa，設定材料的允許變形量dps=1 mm。全向輪型號為QLM-20，直徑為8寸，負載能力為100 kg，額定輪速30 r/min。清潔模組提供的反向摩擦力Fdc=50 N，磁鋼材料為N42H，電機主軸和轉子材料為45鋼，材料的屈服極限σm1=σm2=355 MPa，允許變形量dlr=0.5 mm。

機器人初始質量mr0=30 kg，設計變量的范圍及初值如表1所示。聯合式(3)和(4)可計算不同傾角下抗滑移和抗傾覆所需的磁吸附力，結果如圖11(a)所示；更新質量后，由式(8)可計算不同傾角下的驅動力矩，結果如圖11(b)所示。

表1 設計變量的范圍及初值

圖11 Matlab數字仿真結果

由圖11(a)可以看出，墻面傾角為10°時，抵抗傾覆所需磁吸附力為648.6 N；傾角為18°時，防止下滑所需的磁吸附力為348 N。此時，磁吸附組件提供吸附力Fm=908 N，通過式(8)可求出驅動力矩Td=47.5 N·m。

由于PAD系列減速機使用整體式滾珠軸承結構，可以確保剛性及穩定性，而且效率高(ηr≈94%)，所以此處選擇PAD064-L2行星減速機，其減速比ξ可取4～100范圍內的特定值。但是減速比越小，要求電機的額定扭矩會越大，此時可能會導致電機外徑過大，超過安裝空間。通過評估，最終判定滿足設計條件的減速機可選方案有3種，見表2。其中nN為電機額定轉速，此時減速機質量為1.5 kg。

表2 電機傳動比方案

圖12展示了不同方案下驅動的磁力密度優化結果。在A、B、C方案下，驅動的磁力密度最大值分別為15.2、18、20 N·m/kg，可知C方案優于另外2種，因此取ξ=70，此時nN=2 100 r/min。

圖12 不同方案下驅動的磁力密度優化迭代圖

3.2 統一優化結果

依據結構設計變量初值，假設初始Fm=1 kN，進行結構優化，結果如圖13所示。在全局優化中，這種局部優化得出的結構尺寸仍有可能是過剩的，統一優化方法是從局部到全局的動態過程，可以確保整體優化方向的正確性。

利用磁吸附力密度優化流程，經過運算處理，結果如圖14所示。由驅動組件設計變量初值，結合驅動力矩密度優化流程，可得驅動組件質量收斂結果如圖15所示。通過對不同Fm的局部優化，可擬合磁吸附組件的磁力密度曲線；同樣，通過對不同Td的局部優化，也可擬合出驅動的磁力密度曲線。磁力密度曲線可以直觀反應出設計約束下的電磁動力與磁力裝置質量之間的關系，為機器人的全局優化提供了參考方向。通過多點的數據擬合，2種磁力密度曲線結果如圖16所示。

圖13 底板質量迭代過程

圖14 磁吸附組件質量迭代過程

圖15 驅動組件質量迭代過程

圖16 磁力密度

統一優化過程中，機器人整體質量會隨著結構、磁吸附組件和驅動組件的局部優化逐漸下降，根據磁力密度曲線的迭代計算，能快速得到機器人質量收斂結果，最終可得設計變量優化值，參見表3。此時，通過計算可求得磁吸附組件的吸附力Fm=768.8 N，驅動力矩Td=40.7 N·m，電機額定力矩Tm=0.62 N·m。

表3 設計變量的初值及優化值

通過統一優化，機器人總體質量迭代的收斂狀況如圖17所示。可以看出，通過4次優化迭代，機器人質量由初始的30 kg下降到25.4 kg，重量下降15.3%，收斂速度較快。

圖17 機器人質量迭代圖

4 結論

利用電磁力密度的反饋搜尋計算方法減少了很多無序的計算，能夠快速有效地優化磁吸附爬壁機器人參數，為機電設備的統一優化設計提供了思路。