初中數學常見解題錯誤類型剖析

宋海明

[摘? 要] 研究者認為初中數學學生常見的錯誤類型有：概念模糊，無中生有增條件;忽略實際，百密一疏致遺憾;轉化不清，當著不著亂陣法;丟三落四，厚此薄彼出錯誤.在初中數學教學中教師應深挖學生錯誤產生的根源，培養學生的糾錯習慣，幫助學生杜絕同樣的錯誤重復發生.

[關鍵詞] 解題;錯誤類型;策略;數學思維

俗話說：“錯誤是通向成功的階梯.”初中學生在學習中產生的錯誤不能簡單地歸因于學生的馬虎、粗心等，教師在初中數學教學中應深挖學生錯誤產生的根源，因勢利導，幫助學生杜絕同樣的錯誤重復發生. 為此，筆者針對學生常見錯誤類型進行剖析，并采取一定的應對措施，取得了階段性的成果.

概念模糊，無中生有增條件

有些學生因基礎知識掌握得不夠扎實，解題時渾渾噩噩，甚至會根據自己的解題需求，憑空捏造一些不符合實際的條件，以滿足自己的自圓其說;也有部分學生選擇直接忽略試題中的一些條件，進行解題;還有些學生看到試題，覺得似曾相識，在哪里做過，解題時純粹憑借自己的直觀感覺進行解題，對問題的本質置若罔聞.

出現這種現象的主要原因還在于學生對概念、定義或法則等的內涵不清晰，對數學事實沒有一個精準的理解，在運用時則無法靈活運用. 這種對概念類學習似是而非的態度，不僅導致了解題失敗，還會阻礙各項數學能力的發展.

例1? 如圖1，已知∠ABC與∠BCD相等，試增添一個條件，讓△BCA≌△CBD，并證明.

錯解：添加AC=DB的條件.

錯誤證明：根據以下三個條件①∠ABC=∠BCD（已知）;②AC=DB（已知）;③BC=CB（公共邊），可證明△BCA≌△CBD.

分析：從該條件的添加與證明過程來觀察，學生是從“SSA”這個角度來證明兩個三角形是全等的關系. 但是，在其判定定理中，并不存在“SSA”這一說法. 可見，學生是在對三角形全等的判定定理沒有掌握的基礎上進行解題，因而出現了上述錯誤.

正解：根據判定定理，本題可添加的條件有：①AB=DC;②∠A=∠D;③∠BCA=∠CBD. （證明過程略）

掌握概念、定理或法則等是數學學習的基本前提，是解題的基本保證. 學生一旦對概念的內涵或外延模糊不清，或無法精準把握概念之間的聯系與適用范圍，那么在解題時定會出現各種各樣令人啼笑皆非的錯誤. 因此，教師在這些基礎知識的教學中，應關注學生的理解程度，只有學生將這些內容真正地內化為自己的技能，才能做到解題時思路清晰，胸有成竹，避免因概念模糊而出現的錯誤.

忽略實際，百密一疏致遺憾

有些學生遇到冗長的文字題，心理上就產生抵觸感. 讀題審題時走馬觀花，甚至直接忽略試題的關鍵性詞語或條件，在對題意尚未十分清晰的狀態下就匆匆答題，從而導致錯誤的發生. 但也有部分學生不僅擁有良好的讀題審題習慣，還具有縝密的思維與良好的辯證能力. 解題時，能做到條理清晰，思路明朗，卻在最重要的環節，忽略了實際情況而造成遺憾.

例2? 已知，等腰三角形ABC的兩邊長分別是2和5，求△ABC的周長.

學生看到本題，都覺得很簡單. 經筆者統計，全班51人，本題完全答對的只有33人，還有的學生出現了兩個答案，因此本題的正確率僅有64.7%.

錯解：等腰三角形的兩邊分別為2和5，周長分別為：①2+2+5=9;②5+5+2=12，所以△ABC的周長是9或12.

分析：根據邊長求三角形的周長，對學生來說沒有什么障礙. 但是，出現錯誤的學生缺乏細致的思考，在三角形的性質中就提到：兩邊之和必須大于第三條邊. 若以2為△ABC的腰，兩條腰的和為4，而第三條邊的邊長為5，因為4<5，所以以2為腰，無法構成一個三角形. 因此，本題的解只能是12.

解題不僅需要扎實的基礎知識與技能，還需要有細致的分析能力. 當遇到一些不確定的條件或因素時，不僅要分類歸納出所有存在的可能性，還要慎重思考其獲得的結論與問題的性質、定理或事實是否相符. 只有及時排除不可能存在的情況，才能獲得準確的答案.

<D：＼數學教學通訊中旬＼2022數學教學通訊中旬（08期）＼2022數學教學通訊中旬（05期） c＼aa-2.tif> 轉化不清，當著不著亂陣法

有些學生解題并沒有障礙，一旦遇到運算符號的轉化問題，會屢做屢錯. 尤其在一元一次不等式的運算中，不等號轉化的錯誤發生率相當高. 為此，筆者特地訪談了部分常做常錯的學生，他們的問題主要在于對轉化的規則不清晰，即使能用語言表達轉化規則，但在實際運算時，一不小心就亂了陣法.

例3? 解不等式1-y>7y-3.

此題看似簡單，但實際錯誤率并不低.

錯解：通過移項可得-y-7y>1+3，合并同類項得-8y>4，在方程的兩邊同時“÷（-8）”，解得y>-.

分析：在解不等式的過程中，不僅移項這個環節需要注意變號，在不等式的兩邊同時乘或除以一個負數時，也需要變號. 從以上解題過程來看，存在著以下幾個問題：①在移項這個環節，不等號右邊的-3并沒有移項，因此不應該變化它的符號;②不等號左邊的1，移到不等號的右側，需要變號;③當方程的兩邊都“÷（-8）”時，也應該變號. 因此，以上解題過程存在著明顯的當著不著的問題.

正解：通過移項可得-y-7y>-3-1，得-8y>-4，兩邊同時“÷（-8）”可得y<.

符號轉化是運算中常遇到的問題，若搞不清楚規則，則無法正確運算. 因此，教學時教師應針對性地進行強化訓練，引導學生關注什么情況下需要轉化符號，什么情況下不需要轉化符號，并通過對比與實踐訓練逐步增強學生的認識，強化理解.

認知心理學提出：知識的內化過程受個體原有認知結構與先天傾向的影響. 學生對運算符號轉化問題的障礙，與他們原有認知結構與思維定式有著很大的關系. 因此，教師應設法建構學生大腦中對運算的原有認知與新知的聯系，深化學生對符號變化的掌握與理解程度，以提高他們的運算能力.

丟三落四，厚此薄彼出錯誤

縱觀學生經歷過的大小考試，都存在著因丟三落四的問題而導致的失分，甚至有學生出現漏題的現象. 有人認為出現這樣的問題是因為學生馬虎、不細致，其實從丟三落四的習慣能看出學生對待試題的態度缺乏嚴謹性. 想讓學生突破這種障礙，教師可在課堂中勤加訓練，讓學生逐漸養成集中注意力、嚴謹、規范的解題習慣.

如學生在解一元一次不等式或方程時，為了將不等式或方程轉化為整數，解題時存在著去分母的環節. 筆者發現，在不等式或方程的兩邊同時乘以各分母的最小公倍數時，很多學生會因為厚此薄彼而出現丟三落四的錯誤.

例4? 解方程 =2-.

此方程比較簡單，分母的公倍數較小. 按照常理，學生應不存在什么解題障礙. 本題屬于分層作業中的基礎題，要求所有學生都必須掌握. 但是，筆者發現學生的作業中，在此題出現錯誤的學生還不在少數.

錯解：將原式去分母，可得5（a-1）=2-2（a+2），去括號可得5a-5=2-2a-4，通過移項與合并同類項的步驟，解得7a=3，a=.

分析：出現以上錯誤的原因在于只將含有分母的項，乘以各分母的最小公倍數，忽視了不含分母的項. 事實上，去分母時需將方程兩邊的每一項都乘以10（最小公倍數），包括不含分母的項（2也要乘以10），如此才能確保去分母后所得到的式子與原式相等.

正解：去分母可得5（a-1）=20-2（a+2），去括號5a-5=20-2a-4，通過移項與合并同類項后解得7a=21，a=3.

此類錯誤在學生的作業或試卷中屢見不鮮. 為了幫助學生掃除障礙，除了要求學生掌握正確的解題規則之外，教師還要注重強化學生在此方面的訓練，讓學生在重點突出的訓練、糾錯中，逐漸形成耐心、嚴謹的解題習慣.

常見的錯誤類型也可從知識、方法、邏輯、心理等角度去剖析，但不論哪種類型的錯誤，都離不開糾錯習慣的培養與技能的訓練，尤其是丟三落四的錯誤則可通過嚴謹解題態度得以糾正. 因此，在課堂教學中要時刻提醒學生端正學習態度，規范解題方法，從細節著手，做到及時發現并解決問題，幫助學生養成良好的解題習慣，為其形成良好的數學思維品質奠定基礎.