淺談直角坐標系中含特殊角綜合題的處理策略

【摘 要】從分析“怎么想到這樣做”入手，提煉構造（或挖掘）直角三角形是解決直角坐標系中含特殊角綜合題的通性通法，以優化學生的思維方式，提升他們處理同類問題的類化能力，詮釋了研究習題教學的又一條重要途徑.

【關鍵詞】習題教學;通性通法;類化能力

近年來，在各地中考中常常出現一類與特殊角（30°，45°與60°）有關的函數壓軸題，主要有兩種類型：一是題目條件或結論中直接呈現特殊角;二是以直線y=kx+b中的k（或與坐標軸的交點坐標）含有1、2和3等特殊值來隱含特殊角（即直線與坐標軸所成角為特殊角）.由于特殊角常與直角三角形共存，故而挖掘圖中現有直角三角形或構造直角三角形并結合其他條件逐步轉化是處理此類問題的基本策略.1 基本策略1.1 直接構造含特殊角的直角三角形計算

無論是題目的條件或求解的目標中含有特殊角，通過構造含特殊角的直角三角形往往能使問題迎刃而解，并且遇到30°或60°角通常構造含30°角的直角三角形，面對45°角則構造等腰直角三角形.

例1 （2021年山東棗莊）如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=-12x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=13x2+bx+c經過坐標原點和點A，頂點為點M.

（1）求拋物線的關系式及點M的坐標;

（2）點E是直線AB下方的拋物線上一動點，連接EB，EA，當△EAB的面積等于252時，求E點的坐標;

（3）將直線AB向下平移，得到過點M的直線y=mx+n，且與x軸負半軸交于點C，取點D（2，0），連接DM，求證：∠ADM-∠ACM=45°.

思路分析 （1）易得拋物線的解析式為y=13x2-2x，點M的坐標為（3，-3）;

（2）由于△ABE的三邊均與坐標軸不平行（或在坐標軸上），所以需通過某一頂點作坐標軸的平行線，把△ABE分割成兩個有邊與坐標軸平行的三角形來求面積.考慮到點E為動點，不妨過點E作EH∥y軸交AB于點H，設點E的坐標為（x，13x2-2x），得點H（x，-12x+3），則S△EAB=S△EHB+S△EHA=12EH×OA=12×6×（-12x+3-13x2+2x）=252，解得x=1或72，故點E的坐標為（1，-53）或（72，-3512）;

（3）易知∠ADM-∠ACM=∠DMC，所以問題轉化為證明∠DMC=45°，即構造以∠DMC為底角的等腰直角三角形，故想到過點D作DF⊥CM，如圖2，垂足為點F（或過C作MD的垂線），至此問題又轉化為證明DF=MF（或利用銳角三角函數求角）.而在平面直角坐標系中，理所當然想到利用求線段長來證明線段相等.

鑒于直線MC的解析式可由待定系數法求得為y=-12x-32，從而得點C的坐標為（-3，0），進而可得MC=35、MD=10與CD=5.又邊CD在x軸上，所以想到用△CMD的面積列方程求得DF的長為5，再由勾股定理可得MF=5，故得證.

說明 處理兩角差的策略主要有作圖（即在大角內部構造一個小角）或運用知識源“三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角和”，從而把多角間的數量關系轉化為兩角相等關系.

1.2 挖掘含特殊角的直角三角形并利用等角轉化

有時，利用條件挖掘圖中隱含特殊角的直角三角形實現等角轉化，再結合三角形全等對應邊相等、相似三角形對應邊成比例或銳角三角形函數，逐步解決線段長計算問題，也是處理此類問題的常用策略.

例2 （2021年江蘇連云港）如圖3，拋物線y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知B（3，0）.

（1）求m的值和直線BC對應的函數表達式;

（2）P為拋物線上一點，若S△PBC=S△ABC，請直接寫出點P的坐標;

（3）Q為拋物線上一點，若∠ACQ=45°，求點Q的坐標.

思路分析 （1）m=-1，直線BC對應的函數表達式為y=x-3.

（2）由于△PBC與△ABC是共邊三角形，若面積相等，則需分點P與點A在BC的同側與異側兩種情形討論.當點P與點A在同側時，AP與直線BC平行，由拋物線y=-x2+4x-3得A點坐標為（1，0），所以直線AP的解析式為y=x-1，與拋物線的解析式聯立解方程組得點P的坐標為（2，1）;當點P、A位于BC的異側時，點P在與BC平行且與點A到BC的距離相等的直線P1P2上.又因為直線PA、BC在y軸上的截距分別為-1與-3，所以直線P1P2在y軸上的截距為-5，得直線P1P2的解析式為y=x-5，與拋物線的解析式聯立解方程組得點P1、P2的坐標為（3-172，-7-172）與（3+172，-7+172）. 圖4（3）顯然點Q只能在直線AC右側的拋物線上（如圖4）.若用交軌法求點Q的坐標，則需先求直線CQ的解析式，又已知點C的坐標為（0，-3），所以還需知道直線CQ上另一點的坐標（或k的值），理所當然選擇直線CQ與x軸的交點D（因為坐標軸上的點易求坐標），即求BD的長.注意到△OCB為等腰直角三角形，即∠OCB=45°=∠ACQ，所以∠OCA=∠BCD.又BC=32，所以想到以△BCD為目標三角形構造一個與其相似的三角形，利用對應邊成比例求出BD的長.又知∠CEA=135°，所以想到在OC上截取OE=OA，得等腰直角三角形OAE，則∠CEA=135°，故△BCD∽△ECA，所以CBCE=BDEA，得BD=3.再由待定系數法得CD的解析式為y=12x-3，與拋物線的解析式聯立解方程組得點Q的坐標為（72，-54）.

說明 本題是根據已知長度線段間的數量關系，挖掘等腰直角三角形OBC和構造等腰直角三角形OAE，再通過特殊角尋找角與角之間的數量關系，并利用相似三角形對應邊成比例而找到解題突破口的.

當然，例2也可構造特殊的直角三角形處理.如圖5，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，則△ACF為等腰直角三角形.根據上面的分析可知關鍵是求出BD的長，鑒于△ACD有一邊在x軸上，不妨依據其面積列出關于BD的等式，從而求出BD的長.易求AC=10，進而得AF=5，所以S△ACD=12AD·OC=12CD·AF，3（2+BD）=5·（3+BD）2+9，也可得BD=3.

1.3 利用特殊值挖掘含特殊角的直角三角形

當直線y=kx+b中的k的值是1、2、3或33（或點的坐標中含有這些數值）時，往往圖形中就隱含著30°，45°與60°的特殊角，若善于利用這些隱形的角解題，往往可起到事半功倍之效.

例3 （2020上海靜安二模考）如圖6，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（23，0）、B（0，6）、M（0，2），點Q在直線AB上，把△BMQ沿著直線MQ翻折，點B落在點P處，聯結PQ.如果直線PQ與直線AB所構成的夾角為60°，那么點P的坐標是.

思路分析 雖然AB是定直線，但由于點Q在直線AB上運動與直線PQ的位置不斷變化，導致可能存在四個位置.另外，由于點A的橫坐標為23，所以可能存在隱含的特殊角，而由tan∠ABO=OAOB=33，知∠ABO=30°且∠BAO=60°.

當點P在直線AB的右上方且∠AQP=60°時（如圖6），則PQ∥OA，因此只需求出點Q的坐標與PQ的長度，即可得到點P的坐標.鑒于AB的長度為43，且點A與B的坐標又已知，所以只需求出BQ的長度即可知道BQBA，進而利用比例求出點Q的坐標.因為∠P=∠ABO=30°，所以∠BNM=∠PNQ=90°，又BM=4，所以BN=23，故問題轉化為求出BQ與QN的數量關系.又易知∠QMN=∠QMB=∠MBN=30°，得BQ=QM=2QN，故BQ=433=PQ，所以BQBA=13，則點Q的坐標為（233，4），從而得點P的坐標為（23，4）.當點P在直線AB的左下方且∠AQP=60°時（如圖7），則∠BQM=∠PQM=∠BAO=60°，所以MQ∥x軸，即MQ⊥y軸，由翻折的性質知點P落在y軸上，且MP=BM=4，所以點P的坐標是（0，-2）; 圖8當點P在直線AB的左下方且∠BQP=60°時（如圖8），則∠BQM=∠PQM=30°.連結AM，由勾股定理計算得AM=4=BM，所以∠MAB=∠MBA=30°，得點Q與點A重合，否則∠BQM或小于30°（點Q在BA延長線上），或大于30°（點Q在線段AB上），此時QP在x軸上且QP（即AP）=QB（即AB）=43，所以點P的坐標為（-23，0）.

應當指出的是，當點Q位于線段AB的延長線上，點P在直線AB的左下方，∠BQP小于60°（因為∠BQM小于∠ABO）;當點Q位于線段AB上，且點P在直線AB的右上方時，由于∠BQM小于150°，所以翻折后所得的二倍角小于300°，故而∠BQP大于60°.

綜上可知，點P的坐標為（23，4）、（0，-2）或（-23，0）.

說明 本題極容易漏解和多解，避免犯錯的關鍵是要理解直線PQ與直線AB所構成的夾角的定義，以及當點Q在直線AB上運動時，翻折△BQM所得兩直線夾角各種可能性及其生成的本質.特別是，要緊扣點Q在AB上按某一方向運動時，點P在直線AB兩側的位置變化與∠AQP（或∠BQP）大小變化的規律，以便找對找全點P的位置.

2 兩點思考

2.1 解題分析要從“怎樣想到這樣做”入手

常規的解題分析往往只是解題過程的簡述，學生所謂懂了也僅限于理解每一步推理的依據，對于解題思路生成（即怎么想到這樣做 ）其實并不清晰，故而成為他們提升分析能力的短板.為了引導學生學會分析，本文均從“怎樣想”入手，依據特殊角與直角三角形的依賴關系，著重闡述挖掘題中已有直角三角形和構造直角三角形的基本策略，并對結合條件如何挖掘與構造也作了詳盡分析，以豐富學生尋找解題突破口的有效手段.如例2的第（3）題就是從點Q的生成（直線CD與拋物線y=-x2+4x-3的交點）入手，結合拋物線的解析式已求，綜合分析出用交軌法求點Q的坐標，轉而求直線CD的解析式.再依據待定系數法，在已知點C坐標的情況下，想到求直線與x軸的交點D的坐標（因為坐標軸上點坐標相對易求），進而轉化為求BD的長，使問題迎刃而解.這些完整呈現解題思路生成過程的分析，不僅讓學生“知其然更知其所以然”，而且還“知道為何然”，從而學會“怎樣想”[1]，并優化了思維方式，提升了分析能力.

2.2 策略提煉要以通性通法為本

一般地，中考綜合題很難有一個固定的模板供學生套用，而任何方法也不可能解決所有問題，但同類問題往往有些處理的基本策略與思考方向，即通性通法.毫無疑問，挖掘與構造直角三角形就是處理平面直角坐標系內含特殊角綜合題的通性通法，也是解題的突破口.此外，例1第（2）題關于求三邊均與坐標軸不平行的三角形面積時就提煉出要過某一頂點向坐標軸作平行線，把原三角形分割成兩個有邊與坐標軸平行的三角形分別處理的策略;而例2第（2）題關于處理面積相等兩三角形問題時又提煉出需分兩三角形第三個頂點是在共邊同側（兩頂點連線平行于共邊）和異側（過定點關于共邊直線對稱點作共邊平行線）兩種情形分類討論的通性通法.毫無疑問，這些通性通法必將成為學生分析問題與解決問題的基本策略，也將是處理同類問題的重要遷移點.

總之，研究中考題時一定要以分析“怎么想到這樣做”為抓手，以提煉通性通法為指導思想，全面提升學生分析問題與解決問題的類化能力，力求以題會類的習題教學最高境界.

參考文獻

[1]劉華為.淺談直角坐標系中兩角相等問題的構圖與轉化[J].中學數學雜志，2019（04）：52-54.

作者簡介 劉華為（1968—），男，安徽肥東人，中學高級教師;主要從事數學教學與研究;發表文章160余篇，出版個人專著《基于深度學習的初中數學課堂教學》.