我國中小學數學推理研究的回顧與展望

任利平　徐文彬　潘禹辰

【摘 要】基于CNKI數據庫的檢索，對177篇數學推理研究文獻進行分析，發現我國中小學數學推理研究在近年來發展明顯，并逐步關注合情推理.研究內容主要包括：對數學推理本身內涵方面的分析;通過劃分數學推理能力水平來調查學習狀況、可能影響因素;分析教材中有關數學推理的內容呈現情況;從教師、教學以及課程等方面提出促進數學推理能力培養的策略.然而，當前研究的理論分析中尚且存在定義模糊、理解片面等問題，進而影響實證研究的開展效果，所以未來研究還需要厘清數學推理的基本問題，關注數學推理本身及其在全學段教學落實的整體性.

【關鍵詞】數學推理;中小學;核心素養;合情推理;演繹推理

1 問題提出

推理是指直接或間接地從已知判斷得到新判斷，存在于生活和學校教學的各個學科之中.但是在學校教學科目中，推理更多在數學中被提及，數學對于學生推理能力（尤其是邏輯推理）培養的意義受到普遍認同，數學推理是數學學科的核心能力之一.

《義務教育數學課程標準（2011版）》的頒布與高中數學核心素養的提出，使得數學推理尤其是合情推理的地位凸顯.但在實際教學中，學生數學推理能力的培養仍然面臨著很多問題.在小學階段，教師雖關注到合情推理，但教學更多停留在合情推理的表層.數學推理不能僅僅停留在操作、觀察、嘗試、畫圖等簡單的推理階段，要引發學生通過歸納、類比等方法進行猜想、證明.數學推理既包括演繹推理，又包括合情推理，這兩種推理都應當貫穿于整個數學學習過程中.數學推理對學生思維訓練、創新能力培養具有重要意義，但推理教學還面臨諸多問題和挑戰，學生推理能力水平有待提高.針對這些現實問題，本研究希望從我國中小學數學推理研究的已有成果中，獲得啟發.

2 研究概貌

以CNKI中國知網為檢索源，以“數學推理”為主題詞，分別對期刊文獻和碩博士論文進行檢索，其中，文獻學科選取教育學類、心理學類、社會學類、數學、邏輯類期刊以剔除工農醫科等無關文獻.截止2021年7月15日，得到期刊文獻記錄438條，碩博士論文記錄226條.經篩選以及閱讀補充，最終得到文獻共177篇，時間跨度為1997—2021年，其中，期刊論文109篇，會議論文4篇，學位論文64篇（含博士論文7篇）.

下面從年度分布、關鍵詞分布、來源分布三個方面對取樣論文進行概貌分析.

2.1 年度分析

將177篇文獻按照發表年份整理，得到圖1所示的我國中小學數學推理研究的年度分布情況.可以看出，尤其近六年來，數學推理受到越來越多研究者的關注，研究數量總體呈上升趨勢.2014年以前，文獻數量呈波動狀態，而此后則出現了幾次明顯的增幅，這可能也與中小學數學課程改革有關.具體而言，研究文獻的類型以期刊論文為主，學位論文僅在2020年有明顯居多的情況，而博士論文始終占了少數.

2.2 關鍵詞分析

如圖2所示，在研究出現的高頻關鍵詞中，“合情推理”居于首位，這與本世紀中小學數學課程改革中對合情推理能力重要性的明確有關.研究中，合情推理或歸納推理是最受關注的推理類型，尤其在針對小學數學推理的研究中，這種傾向更加明顯.同時，關注到“數學素養”“核心素養”等關鍵詞的頻繁出現，近年來，不少研究者將數學推理基于此種視角下開展研究，而核心素養中的推理主要是邏輯推理，即演繹推理.

2.3 來源分布

從期刊論文所發表的期刊情況和學位論文所來自的高校情況來看，期刊論文集中在（數學）教育類核心及以上級別的期刊，學位論文主要產自師范類院校（具體參見圖3）.具體而言，（數學）教育研究界比較權威的《數學教育學報》《課程·教材·教法》上發表了較多的研究成果，而學位論文主要由設有教育學重點學科的高校產出.總的來說，無論是期刊論文還是學位論文，其研究質量從來源上看都有一定可靠性，具有較好的學術參考價值.

3 主要研究成果

目前，我國中小學數學推理的研究內容主要可分為四個方面：對數學推理本身的理論分析;對學生數學推理能力現狀的調查分析;教材中數學推理的內容設置;數學推理能力的培養策略.

3.1 數學推理的理論分析

研究者主要分析了數學推理的內涵與特點、分類、功能和過程.

3.1.1 數學推理的內涵與特點

對于數學推理的概念界定主要立足于心理學和邏輯學.在心理學上，數學推理被看作是一種思維過程.徐斌艷認為，數學推理是指人們在數學觀念系統作用下，由若干數學條件，結合一定的數學知識、方法，對數學對象形成某種判斷的思維操作過程[1].在邏輯學上，數學推理被界定為一種思維形式[2].呂世虎認為，數學推理是由一個或幾個數學命題推導出另一個未知命題的思維形式[3].

數學推理不同于日常生活中的一般推理，也與解決其他學科問題時進行的推理不同.首先，數學推理的對象是表示數量關系和空間形式的數學符號[4]，如代數表達式、幾何元素符號等，這一般都與日常生活經驗無關.其次，數學推理的依據來自問題所在的數學系統.最后，數學推理具有邏輯性，其中的“前提”“結論”往往會隨著推理的進行而相互轉化，推理的準確性則依賴于靈活運用已有的條件、公理定理等[5].數學推理的特點正體現了數學的科學性、嚴謹性.

3.1.2 數學推理的分類

研究者對數學推理的分類大多與課程標準的思路一致，即分為合情推理和演繹推理.合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納、類比、聯想、數據分析等方式推斷出某些新結論的思維過程.演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則進行證明和計算，也可稱為命題推理和運算推理[6].至于合情推理中所包括的歸納和類比兩種具體推理方式，其關系尚存爭議.史寧中認為，可以將類比推理歸入到歸納推理.歸納推理是命題范圍由小到大的推理，類比推理是已知一類事物的屬性對另一個類中的事物的相似屬性進行推斷[7]，是特殊的歸納推理.5831760F-8CE3-4ADD-9B8A-586364E6592E

此外，還存在一些不同的分類方法.譬如，依思維分為歸納推理、演繹推理、類比推理;依知識領域分為代數推理、幾何推理、統計推理[8];依所得結論的可信度分為論證推理（演繹推理）與合情推理（似真推理）[9];依推理形式正確與否分為形式正確或者結構正確的邏輯推理（包括歸納、類比、演繹）和形式不正確或者結構不正確的不合邏輯的推理[10].史寧中從思維方法的角度分析，將數學推理分為兩種：演繹推理和歸納推理[7].

總的來說，數學推理的本質在于演繹推理[11]，但演繹推理的結論通常又需要歸納推理、類比推理來證明，數學教學應立足于演繹推理，同時發展學生的歸納推理和類比推理能力.

3.1.3 數學推理的功能

數學推理對思維發展、命題的理解與闡述、猜想的驗證，以及知識域的擴展都起著重要作用.其中，又以在思維和理解上的功能為主[11]，這尤其在演繹推理與合情推理中彰顯.

在數學推理中，演繹推理與合情推理具有同等重要的作用，二者不可分割、相互聯系.課標指出，合情推理幫助尋找思路，獲得初步猜想，為后續的研究提供了一個可能的結論，期間，大膽做出猜測的精神很重要;而演繹推理注重運用事實和邏輯進行嚴格論證，為的是確證猜想的正確與準確，這則依賴于理性精神[9].但合情推理與演繹推理都存在一定的局限，合情推理是為了猜想、推斷，它的結論是或然性的，不一定為真，必須通過演繹推理進行證明;演繹推理只能驗證真理，一般不能發現真理，通過演繹推理很難獲得創新性的成果.只有將演繹推理與合情推理結合起來，才能經歷推理的全過程，促進學生推理能力的全面、深入的發展.

3.1.4 數學推理的過程

數學推理不是一個一蹴而就的過程，體現為學生在解決問題中經歷的有邏輯的思維過程.對數學推理過程的研究分為兩個方面.一是從數學推理自身出發，經歷猜想—進行歸納—加以論證的重復過程[12].這也體現了合情推理與演繹推理在問題解決中相輔相成、循環往復的過程關系.閆龍敏認為，數學合情推理的過程是：基于經驗的觀察;已有經驗的整理;猜想并得出結論[13].二是從數學推理的認知過程出發，李興貴等人認為，數學歸納推理需經歷5個層層遞進的認知階段——“歸納五看”：個別的看、重復的看、想象的看、抽象的看和一般的看[14].也有研究者認為，不同結構成分的數學推理有著共同的認知過程特征：確定問題類型、表述解決問題的策略、對問題信息進行心理表征、分配解題策略、檢驗和評估問題解決過程與結果[5].

已有研究對數學推理過程的理解實際隱含著把合情推理和演繹推理視為一個完整的推理過程，但很少明確提出.在實際教學中，存在認為某一教學階段就教某一推理的錯誤傾向，如小學就只適合教合情推理，初中才開始教給學生演繹推理.明確數學推理是一個完整連貫的從合情到演繹推理的過程，對于推理教學具有啟發意義.

3.2 數學推理的學習研究

數學推理能力是學生在數學推理活動中表現出來的思維能力，了解學生數學推理能力的現狀以及數學推理學習的困難，有助于進一步探討教學干預方法.

3.2.1 數學推理能力的水平劃分

對于數學推理水平的研究多借鑒國外研究成果，根據學生思維由形象到抽象螺旋上升的認知過程劃分能力等級.PISA將推理能力分為三個水平：再現水平、聯系水平和反思水平[15].基于此，徐斌艷等人將數學推理能力分為：記憶與再現;聯系與變式;反思與拓展[16].王小寧提出了對數學推理能力層級劃分的理論構想：由高到低分為程序化水平、自動化水平、直覺水平三個層級.王驤業等人的劃分方式則考慮到了推理本身的過程與性質，得到的五個水平為：不會推理;單純重復前提;自由聯想;推理基本正確，但概念不周延;推理出合乎邏輯的正確結論.這種觀點也在其他對小學生邏輯推理能力的研究中得以體現[17].從具體內容領域上看，范希爾理論中的幾何學習思維水平包括五個等級：水平0——直觀;水平1——分析;水平2——抽象;水平3——演繹;水平4——嚴密[18].

鑒于對數學推理水平的劃分多是參考國外，對學生推理能力的測試也主要是運用國外的一些測量工具，因而對數學推理認知水平的理解還停留在經驗借鑒上，需要進一步的本土化.

3.2.2 數學推理能力的影響因素

兒童推理水平存在個體差異，在不同的推理能力、同一推理能力的不同方面處在不同的層級，這受到了很多復雜的因素影響.已有研究對兒童數學推理能力影響因素的分析主要包括三個方面.一是學生自身因素，包括性別、年級、地區、認知水平、動機與態度、學業成就等.二是教師方面的因素，包括教師角色、教學態度、教學方式等.三是課程方面的因素，包括課程設置[19]（新授課、練習課、復習課所占比重）、課程內容（教材推理能力的占重、偏重）等.不過，這些研究大多觸及表面，對某一因素進行具體深入探討的研究較少，故而對于能夠在一定程度上通過教學或其他干預來減少影響的措施還沒有較成熟的結論.

3.3 教材中的數學推理

教材中有關推理內容的編排與設置，可以體現其在教學中的地位與價值導向，又鑒于教材是教學和學習的主要依據，這也能在一定程度上反映實際的數學推理教學狀況.研究主要從三個方面來分析教材中的推理內容.

一是不同推理在教材中的分布.有研究發現，推理貫穿于整個小學階段，而且歸納推理居于主導地位，類比推理次之[12].王雪晶對蘇教版小學教材的研究就驗證了這種觀點，并且發現，統計推斷這一不確定性更強的推理方式出現的更少[20].

二是推理在不同知識領域的體現.譬如，教材中關于推理內容的分布可能不均勻，人教版教材就集中于“數與代數”[12].王秋歌研究了合情推理在人教版小學數學教材各個知識領域中的呈現，發現在“數與代數”中主要涉及到整數、小數、分數、百分數、負數等知識點;“圖形與幾何”中主要涉及到圖形的認識、圖形的測量、圖形的運動、圖形的位置等知識點;而“統計與概率”并沒有成為推理教學的重點[21].5831760F-8CE3-4ADD-9B8A-586364E6592E

三是推理在不同教學活動的體現.譬如，新授知識教學時，合情推理體現在例題情境或問題串中，而解決問題的教學活動則是在課后習題、整理與復習中需要用到合情推理[20].

教科書中蘊含著豐富的數學推理思想，但已有研究對其挖掘不夠.針對小學階段的研究，主要探究合情推理在教材中的體現，而沒有關注到演繹推理.對合情推理的研究也較為簡單，多是量化的比重分析或片段的內容分析.

3.4 數學推理能力的培養策略

已有研究對數學推理能力的培養十分關注，從教師、教學和教材三方面提出了策略.就教師而言，首先，在教師素養上，教師要充分學習各種不同的推理，提高自身的推理能力[22].其次，教師要樹立以推理為核心的數學教學觀，有意識地在教學中向學生傳授推理的思想[23]，要關注學生，注重培養學生的創造思維能力意識[24].此外，教師要培養學生對自己的思考與結論進行反思的意識[25];在教學中兼顧多種推理形式，并給學生自己進行“推理”的機會[26].教師在學生數學推理中所扮演的角色是情境創設者、引導鼓勵者、傾聽交流者、監控促進者[27].錢學鋒認為，精心設計的教學活動、從猜想到證明的完整探究過程，以及充分的說理與適當的教師總結，將有助于學生推理能力的提升[28].

就教學而言，研究者論及教學內容、模式、活動和實施等方面.尹淑英認為，要在數學的四大板塊教學中全面滲透合情推理能力的培養，拓寬培養渠道，并創建一套適合小學生合情推理能力培養的實踐模式，讓學生經歷經驗—猜想（最初的猜想）—猜想（更可靠的猜想）—猜想（幾乎可靠的猜想）[22].林曉峰提出創設情境—觀察、實驗—猜想—驗證/反駁—證明—應用的合情推理課堂教學模式[29].王世寶認為，可在課堂教學，包括概念教學、命題教學或者證明教學等教學活動中，發展學生的推理能力[30].李全香認為小學數學教學中實施歸納推理可以例子為指引[31].

在教材方面，鑒于數學本身的學科特性，且推理又是一種蘊涵了邏輯性的教學內容，其系統性應當與學生的認知發展規律結合起來，作為教材編寫的依據[32].王曉輝、赫曉玲建議在教材修訂中能體現“創設情境—進行探究—歸納猜想—建立數學模型—推理論證—應用”的模式，使形式與內容統一[33].具體來說，現在的教材大多是采取演繹的方式講解數學概念，還需要用歸納的方法呈現一些定義、公式、定理[7].但是，課程內容的刪減與添加應確保演繹推理占據足夠的份額[11].根據學生邏輯思維能力層級發展的特點，對于小學低年段的學生來說，觀察、猜測等直覺性或直觀性的活動應當作為重點，使推理思想萌芽其中，而對于小學高年級和初中生則有必要將更多的嚴格證明滲入其中[20].4 研究結論與展望

基于上述對文獻的概貌分析和內容分析，可以發現數學推理的關注度逐漸上升，研究兼及理論與實踐兩方面，不過也有值得繼續探究的問題.

4.1 進一步明晰數學推理的內涵與外延，深化理論研究

已有研究較為關注數學推理的價值與功能，對其整體上的把握較為準確，但是多從邏輯學和心理學上進行闡述，對于推理在數學教學中的具體意義闡述不清，尤其中小學教師可能沒有認識或片面認識推理的價值.需要進一步明確數學推理的內涵和外延，增加數學角度的理解，可以給出數學推理的操作性定義，從而幫助指導教學.在數學推理的分類上，普遍分為合情推理和演繹推理，但對其內涵，尤其是二者關系理解不清，需要明確不同類別下的數學推理在具體教學中的體現.這些對數學推理本身的基本探討將成為后續實證研究以及教師教學實踐的基礎.

4.2 系統全面地研究整體的數學推理，關注從合情到演繹的過渡

隨著新課標對合情推理的強調，越來越多的研究關注合情推理，提出降低演繹論證推理的難度，甚至認為在小學階段沒有演繹推理的教學.實際上，合情推理并不停留在猜想、操作;演繹推理也并不僅僅是三段論格式的證明，二者是一個統一的整體.在教學中要把握好二者的關系，在不同階段，應以不同的方式讓學生經歷完整的推理過程.研究尤其要關注，如何實現從合情推理到演繹推理的過渡，以及如何借助合情推理的手段輔助演繹推理的證明，以便在教學具體實施中合理把握推理的層次和教學方式.

4.3 淡化不同學段的研究重點傾向，促進數學推理教學與研究的連貫性

目前，小學階段數學推理的研究多是對合情推理、類比推理、歸納推理單一的研究，初高中階段數學推理的研究主要是對演繹推理的研究，研究內容在學段上表現出差異.同時，整體的研究傾向于中學生，這表現出研究者對數學推理認識的片面性.為此，從合情到演繹的完整過程來看待數學推理，那么從小學（甚至學前）到高中（再到高等教育）都將納入研究之中，在不同學段中都會涉及不同的推理培養，只是可能在推理類型上會有所側重.此外，教學研究還應避免經驗總結，依據行動研究甚至實驗研究來提供可行且可靠的建議.

總之，當前我國中小學數學推理研究已觸及對數學推理本身的分析，以及對學習、教學、課程等現實情況的探討，未來研究有必要重點關注從全階段的教育過程中實現學生數學推理能力的層級式發展.

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作者簡介 任利平（1993—），女，河南駐馬店人，南京師范大學教育學碩士，小學教師;主要從事數學教育研究.徐文彬（通訊作者）（1966—），男，安徽宣城人，教授，博士生導師;主要從事數學教育研究.潘禹辰（1998—），女，江蘇蘇州人，南京師范大學教育學碩士研究生;主要從事數學教育研究.

基金項目 全國教育科學“十三五”規劃2018年度國家一般項目“中小學STEM教育基本理論與本土實踐問題研究”（編號：BHA180126）.5831760F-8CE3-4ADD-9B8A-586364E6592E