以學(xué)定教， 讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生

朱歡

“雞兔同籠”這節(jié)課原本是人教版數(shù)學(xué)六年級上冊第七單元“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，旨在引導(dǎo)學(xué)生用列舉法、假設(shè)法和方程法解決問題，新教材將這部分內(nèi)容移至四年級下冊第九單元“數(shù)學(xué)廣角”，教材中刪去了方程法，突出了列舉法和假設(shè)法。此內(nèi)容主要是讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究的過程，理解解決問題策略的多樣化，向?qū)W生滲透模型思想，增強(qiáng)其應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

一、談話導(dǎo)入，了解學(xué)情

師：今天，老師給大家?guī)砹艘坏李}目，一起來看一看。

（課件出示：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？）

師：這是一道什么題目？

生：“雞兔同籠”問題。

（教師板書課題）

師：會(huì)做嗎？

生：會(huì)。

師：還沒學(xué)，怎么就會(huì)做呢？

生：在網(wǎng)課上學(xué)過。

……

師：會(huì)做的同學(xué)請舉手。

（大約一半學(xué)生舉手）

【思考】了解學(xué)情，是上好課的基礎(chǔ)。所以，教學(xué)伊始，教師通過談話，及時(shí)掌握班級學(xué)生的整體情況，發(fā)現(xiàn)將近一半學(xué)生已經(jīng)學(xué)過此內(nèi)容，很多學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)好幾種方法。面對著這樣的學(xué)情，教師并沒有按照課本的編排順序出發(fā)，而是尊重學(xué)生新的學(xué)習(xí)起點(diǎn)實(shí)施教學(xué)。

二、以學(xué)定教，探究新知

（一）投石問路，猜一猜

1.“猜的雞和兔的腳數(shù)比26少”的情況

（教師叫一個(gè)學(xué)生上來猜一猜雞和兔可能分別是多少只）

生：5只雞，3只兔。

師：他猜得對不對？我們該怎么驗(yàn)證？

生：因?yàn)橐恢浑u有2只腳，一只兔有4只腳。5只雞就有5×2=10（只）腳;3只兔就有3×4=12（只）腳;一共有10+12=22（只）腳。所以他猜得不對。

師：怎么辦？

生：增加兔的只數(shù)，減少雞的只數(shù)。

師：為什么要增加兔的只數(shù)，減少雞的只數(shù)？

生：因?yàn)楝F(xiàn)在是腳少了，而一只兔比一只雞多2只腳，所以要增加兔的只數(shù)，減少雞的只數(shù)。

師：你打算怎么增加？

生：先增加1只兔，減少1只雞。

師：那就是4只雞，4只兔。（板書：4只雞，4只兔）現(xiàn)在怎么樣？

生：4只雞就有4×2=8（只）腳，4只兔就有4×4=16（只）腳，一共有8+16=24（只）腳

（教師板書：24只腳）。

生：所以他猜得還是不對。

師：是的，雖然猜得不對，但離26只腳怎么啦？

生：越來越接近了。

師：接下來怎么辦？

生：再增加1只兔，減少1只雞。（板書：3只雞，5只兔）

師：我們來算一算腳的只數(shù)。

生：3只雞就有3×2=6（只）腳，5只兔就有5×4=20（只）腳，一共有6+20=26（只）腳。（板書：26只腳）所以這下他猜對了。

2.“猜的雞和兔的腳數(shù)比26多”的情況

師：同學(xué)們，當(dāng)我們猜的雞和兔的腳數(shù)比26少時(shí)，我們需要增加兔的只數(shù)，減少雞的只數(shù);如果我們猜的腳數(shù)比26多時(shí)，比如：1只雞、7只兔，腳有1×2+7×4=30（只）。（板書：1只雞，7只兔，30只腳）我們該怎么辦？

生：增加雞的只數(shù)，減少兔的只數(shù)。

師：為什么要增加雞的只數(shù)，減少兔的只數(shù)？

生：因?yàn)楝F(xiàn)在是腳多了，而一只雞比一只兔少2只腳，所以要增加雞的只數(shù)，減少兔的只數(shù)。

師：同意嗎？

生：同意。

【思考】當(dāng)學(xué)生面對一個(gè)新問題時(shí)，往往會(huì)感覺無從下手，這時(shí)教師需要引導(dǎo)學(xué)生用“猜一猜”的方法。其實(shí)，不管猜得怎么樣，“猜想”能夠給學(xué)生指明方向。猜不對時(shí)，該怎樣調(diào)整？為什么要這樣調(diào)整？背后的數(shù)學(xué)邏輯才是“猜想”的最大價(jià)值。

（二）畫出表格，列一列

師：剛剛同學(xué)們把這幾種情況都說出來了（如表1），還有其他情況嗎？

生（有序地說出）：7只雞、1只兔、18只腳，6只雞、2只兔、20只腳，2只雞、6只兔，28只腳。（依次填入表2）

師：還有嗎？

生：還有兩種特殊的情況：8只雞、0只兔、16只腳，0只雞、8只兔、32只腳。（依次填入表3）

師：仔細(xì)觀察這個(gè)表格（表3），你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)了不管怎樣，雞和兔的只數(shù)一共是8只;從左往右，雞依次減少1只，兔依次增加1只，腳的數(shù)量依次增加2只。

師：你真善于觀察。

【思考】當(dāng)學(xué)生用“猜想”的方法，把幾種情況都說出來了，其實(shí)就是“列表法”中的幾種情況。因此，教師順勢將其他情況讓學(xué)生有順序地說出來，做到不重復(fù)、不遺漏，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，為后面學(xué)習(xí)“假設(shè)法”打下基礎(chǔ)。

（三）數(shù)形結(jié)合，算一算

1.假設(shè)“全是雞”

籠子里全是雞時(shí)，總腳數(shù)是2×8=16（只），與題目中的26只腳相比少了26-16=10（只）。一只兔比一只雞多2只腳，也就是一只兔與一只雞的腳數(shù)相差4-2=2（只），少的10只腳需要換10÷2=5（只）兔，所以雞的只數(shù)就是8-5=3（只）。（板書如下）

師：你們聽懂了嗎？

生：聽懂了。

師：怎么讓我們聽得更明白，我們可以怎么辦？

生：畫圖。

師：（如圖1）現(xiàn)在看到了8個(gè)頭，16只腳。與題目中的26只腳，少了幾只腳？

生：少了10只腳。

師：少的是什么的腳？

生：兔的腳。

師：雞換成兔，一只雞變成一只兔，需要補(bǔ)上幾只腳？

生：2只。

師：為什么？

生：因?yàn)橐恢浑u和一只兔相差2只腳。

（一個(gè)學(xué)生在黑板上把雞的腳換成兔的腳，2只、2只地補(bǔ)腳，邊畫邊數(shù)腳的只數(shù)，一直數(shù)到26只腳。如圖2所示）

師：為什么不往下畫了？

生：已經(jīng)到了26只腳，再往下畫就會(huì)比26只腳多了。

師：同學(xué)們，兔在哪里？請你們?nèi)σ蝗Α?/p>

（學(xué)生把5只兔圈在一起，寫上兔腳、兔頭）

師：現(xiàn)在你們知道為什么“假設(shè)全是雞，先算出的是兔子的只數(shù)嗎”，用線段把算式10÷2=5（只）與圖2中的兔子部分連起來。

師：8-5=3（只）雞在圖中哪里？

（學(xué)生圈一圈，寫上雞頭、雞腳）

師：千金難買回頭看，假設(shè)全是雞，先求的是什么？

生：兔。

2.假設(shè)“全是兔”

師：可以假設(shè)全是雞，還可以假設(shè)全是什么？

生：可以假設(shè)全是兔，列式計(jì)算：①4×8=32（只），②32-26=6（只），③4-2=2（只），④雞：6÷2=3（只），⑤兔：8-3=5（只）。

師：假設(shè)全是兔，為什么先算出的是雞的只數(shù)？

（教師畫圖幫助學(xué)生理解）

【思考】教師遵從“以學(xué)定教”原則，實(shí)施深度教學(xué)。有的學(xué)生雖然會(huì)列算式解答，但未必理解每一步求的是什么，這時(shí)需要教師“慢”下來，用畫圖的方式幫助學(xué)生理解，圖就像“腳手架”，數(shù)形結(jié)合、直觀形象。

（四）梳理這幾種方法的聯(lián)系

師：現(xiàn)在我們來給這幾種方法命名，它們分別可以叫作什么？

生：猜、枚舉（列表）、算（假設(shè)）、畫（畫圖）。

師：這四種方法有什么相同的地方嗎？

生：都用了“假設(shè)”的方法。

師：這個(gè)詞用得好！假設(shè)一種情況之后，比較腳的數(shù)量，當(dāng)假設(shè)情況下腳的數(shù)量與題目中給的數(shù)量不一樣時(shí)，該怎么辦？

生：調(diào)整。

師：同學(xué)們真善于表達(dá)。

（教師板書：假設(shè)—比較—調(diào)整）

生：我發(fā)現(xiàn)列表法可以把每一種情況都有順序地排列出來，但當(dāng)數(shù)量比較大時(shí)，會(huì)有點(diǎn)麻煩。

生：我發(fā)現(xiàn)列表法中的“雞8只、兔0只”和“雞0只、兔8只”就是計(jì)算方法中的“假設(shè)全是雞”和“假設(shè)全是兔”的情況。

生：計(jì)算的方法和畫圖是有聯(lián)系的。

師：通過剛剛的分析，面對著這樣的一個(gè)結(jié)果，你們有什么想說的？

生：數(shù)學(xué)是相通的，條條大路通羅馬。

師：同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)太有價(jià)值了，是的，數(shù)學(xué)是有關(guān)聯(lián)的，知識之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。

【思考】“雞兔同籠”問題的解題方法眾多，是不是每種方法之間是割裂的呢？其實(shí)不是，方法之間都是有聯(lián)系的，梳理它們之間的聯(lián)系，才能深刻理解其解題的本質(zhì)都是“假設(shè)—比較—調(diào)整”。

三、分層練習(xí)，鞏固新知

基礎(chǔ)練習(xí)

（1）這里的龜相當(dāng)于什么？（兔）鶴相當(dāng)于什么？（雞）

（2）“龜鶴問題”就相當(dāng)于什么？（“雞兔同籠”問題）

（3）學(xué)生獨(dú)立計(jì)算。

（4）學(xué)生反饋，課件出示答案。

拓展練習(xí)

（1）學(xué)生獨(dú)立觀察。

（2）兔相當(dāng)于什么？（大船）雞相當(dāng)于什么？（小船）

（3）那8條船相當(dāng)于什么？（頭）38人相當(dāng)于什么？（腳）

（4）此問題又成了一個(gè)“雞兔同籠”問題。

【思考】“減負(fù)”是減去重復(fù)作業(yè)的負(fù)擔(dān)。所以在練習(xí)中，教師盡量做到少而精，設(shè)計(jì)和例題差不多的基礎(chǔ)作業(yè)，以及和例題相似的拓展練習(xí)。實(shí)現(xiàn)學(xué)“一個(gè)題”到會(huì)“一類題”，從而構(gòu)建“雞兔同籠”問題模型，促進(jìn)模型思維的形成。

（作者單位：江西省南昌市桃花學(xué)校）