從兩個視角探究圓錐曲線中的定值問題

?甘肅省天水市第一中學 方春麗

1 引言

在圓錐曲線問題中，常常出現定點定值問題.求解的思路主要有兩個：一是利用代數的解法求解，即先選擇恰當的基本量，表示出所有的信息，利用代數運算求得結論，再對計算結果進行幾何化的解釋；二是直接利用圓錐曲線的幾何性質進行求解.兩種方法并不獨立，有時也需要配合使用進行證明.在2022屆汕頭市的質量檢測中，考查了一道以橢圓為背景的定值問題，筆者分別從代數與幾何的視角進行了證明，并將該結論推廣至雙曲線與拋物線.現將探究過程展示如下，以饗讀者.

2 題目及分析

(1)求橢圓E的方程；

(2)若動直線l與橢圓E有且只有一個公共點，過點M(1,0)作直線l的垂線，垂足為Q，試探究：|OQ|是否為定值，如果是，則求出該值；如果不是，則說明理由.

3 解法呈現

解法1：基本量法.

設直線l的方程為x=my+t，與橢圓E聯立，可得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0.因為直線l與橢圓E有且只有一個公共點，所以上式的判別式等于零.

化簡可得：t2=m2+2.

①

②

將式②代入直線l的方程，可得

③

將上述解法一般化即可證明上述結論成立.接下來，筆者將通過幾何的視角來證明.

解法2：利用極點極線，應用幾何法求解.

在證明結論之前，先介紹以下兩個引理.

圖1

證明:如圖2,不妨設AB>AC(若AB=AC，則對應的點D不存在),在線段AB上找一點E，使得AE=AC，則∠3=∠4.

圖2

又∠B=∠B，

∴△BCE∽△BDA.

∴CE∥AD，

∴∠3=∠2，∠4=∠1.

因此∠1=∠2，即AD為△ABC對應的外角平分線.

該引理即是橢圓的光學性質：若從橢圓的一個焦點發射出一束光線，經過橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點.

證明：如圖3，設點P的坐標為(x0,y0).根據極點極線[2]的定義可得，過點P的切線l方程為

圖3

當直線l與x軸無交點時，結論顯然成立.

根據外角平分線定理，則可得橢圓過點P的切線為∠F1PF2的外角平分線.

現根據引理證明上述一般性結論.

證明：如圖4，設切線l對應的切點為點A，橢圓E的左焦點為F1，連接MA.過M作切線l的垂線，垂足為Q.延長MQ并與F1A的延長線交于點M′.根據引理2可知，切線l是∠MAM′的角平分線.

圖4

考慮△MAM′，結合MM′⊥l可得△MAM′為等腰三角形，從而可得AM=AM′，且點Q為MM′的中點.

結合橢圓的定義可得|F1M′|=|F1A|+|AM′|=|F1A|+|MA|=2a.

在△F1MM′中，點O為F1M的中點，根據中位線的性質可得|OQ|=a成立.

根據引理2，切線l為∠MAM′的角平分線，且MM′⊥l，從而可得△MAM′為等腰三角形，且點Q為MM′的中點.

4 命題的拓展與練習

該問題的背景是橢圓，若將橢圓換成拋物線或雙曲線，也有類似結論成立.

定理1：已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為M，若動直線l是拋物線E的切線，過點M作直線l的垂線，垂足為Q，則點Q的軌跡為y軸.

在橢圓以及雙曲線中，所得的點Q的軌跡均為一個圓，所以所求的|OQ|的值為定值.在拋物線中，點Q的軌跡為直線，也可理解為半徑無限大的圓.從這個意義來講，三個圓錐曲線的意義相同.上述兩個定理的證明過程可模仿橢圓中的證明方法即可，但需要了解雙曲線與拋物線的光學性質.現簡介如下：

圖5

因此α=β.可知拋物線過點P的切線為∠FPP′的角平分線.

圖6

根據焦半徑公式|PF1|=a+ex0，|PF2|=ex0-a，則有

根據角平分線定理，雙曲線過點P的切線為∠F1PF2的角平分線.

根據上述定理，可命制出如下變式供大家練習.

例1已知拋物線E:y2=4x的焦點為M，若動直線l是拋物線E的切線，過點M作直線l的垂線，垂足為Q，求點Q的軌跡.

答案：直線x=0.

答案：|OQ|為定值，且|OQ|=2.

兩個例題的證明過程相似，現簡證例2如下：

如圖7，設直線為l為雙曲線E右支的一條切線，切點為點A，延長MQ與AF1交于點M′，根據引理4，切線l為∠F1AM的角平分線，且MM′⊥l，可得△MAM′為等腰三角形，并且點Q為MM′的中點.

圖7

當切線l為雙曲線左支的切線時，證明方法與該證法相似，不再贅述.