積分上限函數求極限：理解公式與技巧互嵌

賈天理，王奕都，何奕恒，都怡汝，何寶源

(成都錦城學院：a.通識教育學院；b.智能制造學院，四川成都 610097)

在高等數學學習中，極限是一個最基本的概念，它貫穿著整個微積分的始終，掌握求極限的方法是學好高等數學的基礎。但是普遍現象是學生都不太愿意去學，而且學得也不是很好，經常是一知半解的[1]。針對不同函數的特點求它的極限會有多種不同的方法，積分上限函數是一類重要的函數，它是產生新函數的重要工具，尤其是它能表示非初等函數，同時能將積分學問題轉化為微分學問題。積分上限函數除了能拓展我們對函數概念的理解外，在許多場合都有重要的應用，它最著名的應用是在牛頓-萊布尼茲公式的證明中[2]。在各種《高等數學》或《微積分》的教材中，主要針對的是簡單的含積分上限函數問題求導的討論，對積分上限函數求極限的方法講解得都比較簡略，以致很多學生都把這個知識點作為難點內容予以舍棄，對于被積函數中存在抽象函數的求極限問題，更是少有涉及和討論。而積分上限函數求極限是高等數學中一個重要的知識點，是學生考研和高等數學競賽中的常備知識、?？純热?。在各種《高等數學》或《微積分》教材中，主要針對簡單的公式型含積分變限函數求導問題進行討論，而對于被積函數中也存在求導變量的求導問題，卻少有涉及和討論。常規的處理該類問題的方法較為繁雜，學生學習時掌握起來較為困難[3]。因此，值得高等數學教師和學生更多關注和研究。

一、概念與公式的理解

（一）定義及性質

圖1

（二）對積分上限函數Φ( x)=f(t)dt的理解

積分上限函數的難度系數不算是很高，在高等數學考試中，積分上限函數是一個必考的知識要點。然而學生在求積分上限函數極限的過程中，由于計算程序復雜、步驟較多，求解過程中若有任何一個步驟出錯就會得出錯誤的結論。我們注意到，學生練習過程中經常去死搬硬套課本上的求解方法，結果導致計算錯誤，因此對積分上限函數的理解非常重要。

4.既然Φ(x)是一個函數，就可以討論它的各種特性，在滿足一定條件下就可以進行各種運算，求極限是其中的一種運算。

（三）積分上限函數求導數，求導定理的使用方法

二、積分上限函數求極限，運算性質應用與技巧互嵌

含積分上限函數求極限的問題，可歸納為如下三種基本情況，下面以三種考試題型為例進行分析，給出一般的求解思路與方法。

（一）基本題型求極限，采用循規蹈矩的方法

（二）復雜題型求極限，采用技巧互嵌的方法

說明 解題中我們多次用到了等價無窮小的代換，之后才使用洛必達法則，這樣求極限就比較方便了。

（三）抽象函數求極限，采用以小見大的方法

說明 當求極限遇到被積函數里邊含有抽象函數時，就需要考慮使用積分中值定理去求了，這就是“以小見大”解決極限問題的手法。

三、結束語

積分上限函數是一類重要的函數，它是產生新函數的重要工具，尤其它能表示非初等函數，只有將數學思想、概念、公式和法則通過不斷積累并逐漸內化為自己的技巧，才能實現學好大學數學的重要目標。積分上限函數除了拓展我們對函數概念的理解外，它還可以將積分學問題轉化為微分學的問題來研究，在許多場合都有重要的應用。因此，有必要對其進行較廣泛和深入地探討，以便對其有一個較全面地認識和較深刻地掌握。計算積分上限函數的極限是大學數學及考研數學的重要考查內容，求解積分上限函數的極限需用到換元法、積分中值定理、重要極限公式、變限積分的相關性質、變限積分的等價無窮小代換、夾逼準則，以及洛必達法則等多種高等數學的求極限方法，做題時不確定因素很多，我們要學會合理使用所學方法，教學與復習中需要熟練掌握這部分知識。應用積分上限函數的求導方法，還可解決如求函數的單調區間、極值、隱函數的導數以及偏導數求解等相關問題，下一步我們將再進行相關研究與交流。