淺談函數思想在高考數學中的應用

簡蕾酈

(貴州省遵義市第四中學 貴州 遵義 563000)

函數思想就是用變量對應的觀點思考問題，緊扣定義，利用圖像和性質分析問題、轉化問題，進而使問題得以解決。自函數出現之后，數學家們在探索問題、進行科研的時候，就會產生運用函數思維的意識，并在使用中可以讓更多問題迎刃而解。據此，數學家總結了這種思維意識的共同點，即變化的量與不變的量之間存有一定關系，并借助變量這一要素解決數學問題，這就是函數思想。在此可以通過發現問題，依據問題的數學特征建立關系式，在此過程中挖掘隱含條件，能夠構建數學函數的模型，最后通過解答函數模型，解決問題。

1.近幾年高考試卷對函數思想考察的分析

1.1 對函數思想體現形式的分析。經過對近幾年高考試卷中函數思想有關問題體現形式的分析，發現關于此類問題的呈現一目了然，有的是直接給出函數性質、圖像、等量關系，有的是需要進一步思考才能想到是要運用函數思想解決、有的函數思想則是直接隱藏在題干中。

此問題中的函數思想是通過外顯形式呈現的，題干中，直接給出了函數的等量關系、周期、定義域等信息，只需要使用函數思想中的周期性特點，分析分段函數的表達式，列出關于a的方程，然后求解。

經過對近幾年高考試卷中函數思想問題的分析，發現外顯形式的問題數量與內隱形式的問題相差不多，如2021年外顯與內隱形式的問題數量分別為6道和5道。

1.2 對函數思想考察內容的分析。經過對近五年數學高考試卷進行詳細的分析，發現在導數、解三角形、概述概念、平面解析幾何、基本初等函數、數列等知識模塊中，都有滲透方程思想，其中基本初等函數領域中對于函數思想考察的題目數量最多，還有部分題型是此基本初等函數與其他知識模塊中知識的結合。經過對各知識模塊中對函數思想的考察，可知高考試卷中在下面幾方面中考察學生的函數思想。分別為：基本初等函數問題中函數思想的考察，此考察學生對目標函數的概念、性質與圖像的掌握程度，函數中變量關系的分析；不等式的應用中，考察函數思想，需要學生有轉換視角，即在不等式中，能夠提取等量關系與函數關系，然后借助函數的形式表現出來，讓問題更加明朗；數列中函數思想的考察，即借助求解數列的某些性質、通項公式，此也都與函數有一定聯系。另外，還可引導學生用函數的眼光看數列，就像一種特殊的函數，其中定義域為正整數集，在此就可利用函數思想解決一些數列問題；導數的應用中函數思想的考察，導數是數學高考試題中的重難點，一般考察的是學生對函數、導數的單調性的認知，是否能借助導數，求解函數的最值與極值問題。此就是在導數問題解答中運用函數思想。

1.3 對函數思想考察要求的總體分析。經過對近幾年高考試題中函數思想的考察分析，可以將對學生函數思想的考察，分為下面幾個水平：水平一，對于高中階段接觸的幾種函數，了解概念、基礎性質、圖像等知識。可以用函數解決簡單的數學問題，初步了解函數思想的價值與作用。水平二，在涉及函數思想的相關問題中，能夠提煉出題干中已知量與未知量，知道兩者的關系，進一步將復雜的數量關系簡單化，能夠使用對應的函數性質，解決數學問題[1]。水平三，能夠在綜合情境中，通過題目的文字信息，挖掘出隱藏的函數知識，如性質、等量關系等，以此擴展函數性質，將數學問題，轉換成函數問題，能夠構建新的方程，創造性的運用函數思想解決實際問題。

2.函數思想在數學教學中的應用

2.1 在數列教學中滲透函數思想。

2.1.1 在概念教學中滲透函數思想。高中數學課堂中對數列概念本質的教學滲透函數思想，可以助學生加強對數列概念的理解，另外還能鞏固函數思想。定義數列時，教材中指出，數列可以看成是以正整數集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函數an=f(n)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值。只要教師帶領學生們想到這一層，就會從函數思想思考數列的概念，會發現數列實際上就是一個離散的函數，進一步加深對數列的記憶。基于此，當學生掌握數列概念的時候，就會對函數思想有更多的認知。

2.1.2 在教授數列相關公式時滲透函數思想。對于高中數列部分的學習，同學們將主要學習兩類特殊數列——等差數列和等比數列，這兩類數列的定義、通項公式及其推導，前n項和公式及其推導都非常重要，教師在教授此過程知識的時候，引導學生將次與函數思維結合，引導學生從函數的角度探究前n項和與等差、等比數列通項公式，快速構建系統性知識脈絡。例如，學生在學習等差數列通項公式的內容時，教師不妨引領學生，從以前學習的函數的角度分析數列，即將通項公式中的n當做自變量x，an做因變量y，所以等差數列的通項公式，就可看做一次函數y=kx+b，只是此處的x的取值范圍是正整數值。通過此，教師還可以引導學生掌握d在一次函數中的意義，即當自變量的數增加1，函數值的變化量為k。在此，還可以將公差d當做等差數列的斜率、導數與變化率。然后教師帶領學生畫出一次函數與等差數列的圖像，進一步知道等差數列的圖像，實際上就是在一條必經點(1，a1)、斜率為d的直線上的，孤立的點。自此，若已知等差數列的首項和公差，就能結合直線的斜率方程，得到通項公式。如果知道等差出列的兩項，那么也結合直線的兩點方程，得到通項公式。

2.1.3 在例題講解中滲透函數思想。數列課堂例題講解環節中滲透函數思想是必要的，學生經常會模仿教師們分析問題的過程，包括使用什么方法解題、書寫解題的步驟等。在此，教師在開展例題講解的時候，如果還使用傳統的常規講解法，不深入挖掘函數思想。那么學生在模仿下也不會深入思考，有時不能找到更簡單的方法解答問題。此與新課標提出的“重視數學思想的教學”理念是違背的，會讓學生在一定程度上，也忽視方程思想的運用。基于此，在例題的講解中，教師不只要知道怎么進解，還要知道怎樣講才能揭示函數思想，加強對問題解答過程中，方法與思想的概括，讓學生能夠深刻的、更好的內化函數思想。對于函數一章的例題講解，教師要先肯定學生的解題方法，然后深入引導，讓學生嘗試從函數的角度，再思考問題，使用函數思想解答問題。最后，將常規解答與使用函數思想解答問題的方法做比較，讓學生通過類比的方法，知道使用函數思想解題的好處，進而在后期做相關習題的時候，能夠嘗試使用函數思想解答，快速解答問題。

2.2 初等函數教學中函數思想的滲透。學生剛步入高中的時候就會接觸基本初等函數，而高考試卷中關于基本初等函數的試題，經過千變萬化，更具深度與廣度[2]。如細胞分裂、人口增長等相關問題涉及指數型函數；溶液中PH值變化、地震時的地震級的破洞類問題涉及對數型函數；正方體的邊長和正方體體積的關系、氣體壓強與體積的關系等問題，涉及的是冪函數。由此可知基本函數的學習對學生們將來解決實際問題有重要意義。以對數與對數運算的教學為例，本節課的教學要建立在指數的教學上進行，因為是完全陌生的知識結構，所以更容易引入函數思想開展教學。近幾年的高考試卷中，數與對數的運算的習題也占有不小的比例，需要教師生重視，創建高效課堂。教學過程：情境導入，教師首先使用多媒體向學生展示細胞分裂的過程，緊接著提出疑問，請問經過五次分裂后一個細胞變成了多少個呢？繼續追問，細胞個數達到512個需經過幾次分裂呢？分裂次數如何表示你有什么好的想法嗎？在學生們完成問題的回答后，可以為對數概念進行定義，即ax=N(a>0，a≠1)，此時x就是以a為底，N的對數。在此，a就是底數，N是真數。然后教師對對數概念進行詳細的說明，如33=27就是以3為底，27的對數為3，在此將ax=N與33=27放在一起研究，就知道了指數與對數之間的關系。另外，如果一個對數的底數為10，此就是常用對數，直接基座log10N。在此要記住，并不是所有的指數都能轉化為對數式，只有a在大于零，不等于1的時候才可以。在學生們掌握對數式和指數式異同之后，就可做課后習題，在做題過程中，嘗試完成指數與對數式的互換，從指數的意義分析對數。

2.3 在不等式解題中滲透函數思想。利用函數思想解決高中數學中的不等式問題時，常常需借助函數圖像和整體換元等方法。

首先，函數的圖像一直是歷年來中考試卷中高頻出現的，在不等式問題的解答中使用函數圖像，可以讓問題變得更加直接與形象，即使是復雜的不等式問題，通過位置的呈現，會讓學生的觀察更具直觀性，將抽象的問題具體化。在此教師要教授學生掌握函數圖像的一般變化規律，可以從實際角度入手，簡化不等式問題的解題步驟。下面借助對應的不等式問題的講解，助學生更好的把握解題思維與過程。

分析，對于此問題的解答，可以通過作圖的形式，即做出y=2x-m和y=f(x)的圖像。分析題干中的條件，因為不等式f(x)≥2x-m恒成立，那么畫出函數y=2x-m的圖像，會發現其一直在y=f(x)的下側[3]。因此，當x=-2時，y=-m-4則小于等于0，可以得到m大于等于-4，由此可以得到實數m的取值范圍為[-4，+∞)

經過本問題的分析，可知高中數學中不等式問題的解答多是和函數圖像結合的，可以結合不等式問題，繪制一個或者兩個對應的函數，在直角坐標系中根據圖像的位置關系，直接確定參數范圍。總的來說，借助數形結合的方法解決不等式問題，核心就構造函數，只要學生們感悟這一點，就可快速的解答不等式問題。

其次，函數思想是2022高考試卷解答中常用的思想，也是學生們解題時使用最頻繁的思維。在解答不等式問題的時候，函數思想的運用下，可以轉化題干中給出的信息，以此快速分析問題，解決問題，從不等式中數量關系著手，建立成熟的數學模型，然后解答。

最后，對于不等式中最值問題的研究，注重對式子的等價變形，高中階段的學生要在數量掌握基本初等函數的概念、性質、圖像基礎上，將不等式中的復雜的、不常見的函數轉化為基本函數，通過此為解題提供便捷[4]。在此，最常見的不等式形式是F(x)=f(x)-g(x)，大于或者小于零恒成立的題型，此也可以等價轉化為[f(x)]min>(或者<)[g(x)]min的最值問題。在解答此類問題的時候，要明確哪一個是自變量，哪一個是參數，這兩個量在特定情況系還可以互相轉化，所以在實際解答中，經常是最值問題與恒成立的問題結合的形式呈現。

結論

函數是高中數學學習的主線，是高中數學最重要的內容之一，學生學好函數，掌握函數思想，對他學好高中數學將產生巨大的促進作用。學生們在初中階段，雖然接觸過函數思想，但是到了高中，接觸的函數知識更多與更復雜，遇到相關問題不知如何用函數思想解答問題，就產生了畏懼感。通過本文對函數思想在高中數學教學中的運用，讓學生的解題有數學思想做支撐，將數學學習變得更有趣與豐富多彩。