運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解答圓錐曲線題

吳偉燕

(浙江省寧波市姜山中學(xué) 315191)

圓錐曲線習(xí)題一般難度較大，對(duì)學(xué)習(xí)者的分析以及運(yùn)算能力要求較高.為提高學(xué)習(xí)者解答圓錐曲線題的能力，應(yīng)注重解題方法的灌輸，尤其應(yīng)做好數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用示范，提高學(xué)習(xí)者的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，使其更好地把握應(yīng)用細(xì)節(jié)，順利、高效突破相關(guān)習(xí)題.

1 借助數(shù)形結(jié)合求直線斜率

直線與圓錐曲線的關(guān)系是高中數(shù)學(xué)中的熱門考點(diǎn).解答該類問題的思路有兩種：一種是代數(shù)方法，借助復(fù)雜的運(yùn)算進(jìn)行求解.一種是幾何方法，通過數(shù)形結(jié)合，借助幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解答.

該題難度中等.因不知道點(diǎn)M的具體位置，因此，解題時(shí)應(yīng)先分析出點(diǎn)M的位置.根據(jù)題干描述畫出對(duì)應(yīng)圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法借助直線平行性質(zhì)尋找角度和|MF|與|MA|比值的關(guān)系得出直線與拋物線相切，而后合理設(shè)出直線參數(shù)不難解答.

解析設(shè)點(diǎn)M為第一象限的點(diǎn)，過點(diǎn)M向直線x=-1引垂線，垂足為點(diǎn)B，畫出圖1所示圖形，則BM∥x軸，∠BMA=∠MAF.

圖1

設(shè)直線AM為y=k(x+1)，將其和y2=4x聯(lián)立，整理，得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

①

其中Δ=-16k2+16=0，解得k=±1，將k=1代入①解得x=1，此時(shí)y=±2，即M(1，2).

2 借助數(shù)形結(jié)合求離心率

解答問題不僅需要搞清楚圓錐曲線中各參數(shù)之間的關(guān)系，如橢圓以及雙曲線方程中a，b，c的關(guān)系是不一樣的，而且離心率的范圍也不同，需要具體問題具體分析，尤其是提高數(shù)形結(jié)合應(yīng)用意識(shí)，迅速找到解題的切入點(diǎn).

該題難度中等，考查的知識(shí)點(diǎn)較多.很多學(xué)習(xí)者閱讀題目后不加思索，只考慮一種情況，導(dǎo)致求得的結(jié)果不全面.

解析根據(jù)題干描述不確定A，B的位置關(guān)系，需要進(jìn)行分類討論.

圖2

(2)當(dāng)點(diǎn)A，B在y軸異側(cè)時(shí)，設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖3，則|AF|=b，|OF|=c，|OA|=a.

圖3

由勾股定理可得|OB|2=|AB|2+a2.

則∠BOA=∠AOF=60°.

3 借助數(shù)形結(jié)合求最值

求解圓錐曲線相關(guān)的最值問題時(shí)常將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)或者不等式問題，運(yùn)用函數(shù)以及不等式的性質(zhì)進(jìn)行分析.但是該種解題思路的運(yùn)算量較大，尤其在解答選擇題、填空題時(shí)應(yīng)注重另辟蹊徑，避免不必要的時(shí)間浪費(fèi).其中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，借助等量代換、對(duì)稱等知識(shí)可達(dá)到化難為易的良好效果，是解答圓錐曲線選擇題以及填空題的常用方法.

例3已知拋物線y2=4x上存在一點(diǎn)A(4，4)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，在直線x=-1上存在一動(dòng)點(diǎn)P，則|PA|+|PF|的最小值為( ).

該題難度不大，但是具有一定技巧，若采用的解題思路不正確，則難以有效突破.課堂上可預(yù)留時(shí)間先要求學(xué)習(xí)者思考，而后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解答，并要求學(xué)習(xí)者做好聽課總結(jié)，在頭腦中建立清晰的解題模型.

解析由拋物線的方程為y2=4x，易求得點(diǎn)F(1，0)以及準(zhǔn)線為直線x=-1.要求|PA|+|PF|的最小值則可運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行分析.

根據(jù)題意畫出圖4所示圖象，設(shè)點(diǎn)F關(guān)于直線x=-1的對(duì)稱點(diǎn)為F′(-3，0)，連接PF′，則|PF′|=|PF|，即|PA|+|PF|=|PA|+|PF′|.

圖4

4 借助數(shù)形結(jié)合求范圍

解答圓錐曲線參數(shù)范圍類的問題常轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域問題.解題時(shí)先構(gòu)建函數(shù)，而后分析出函數(shù)定義域范圍.但是針對(duì)部分圓錐曲線習(xí)題根本無(wú)法構(gòu)建相關(guān)函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)方法行不通.在這種情況下應(yīng)注重考慮運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行解答.

A.[2，+∞) B.[1，2] C.[1，+∞) D.(0，2]

對(duì)于a|x|+b|y|=1，當(dāng)x>0，y≥0時(shí)為直線ax+by=1；當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)為直線ax-by=1；當(dāng)x≤0，y≥0時(shí)為直線-ax+by=1.

圖5

本文結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，選擇四道較為典型的習(xí)題，探討數(shù)形結(jié)合在解答圓錐曲線中的應(yīng)用，得出如下結(jié)論：其一，圓錐曲線習(xí)題設(shè)問的角度、考查的知識(shí)點(diǎn)存在較大差異,但是牢固掌握?qǐng)A錐曲線的圖象、性質(zhì)是解題的基礎(chǔ).其二，影響圓錐曲線解題正確率的因素較多，其中運(yùn)算能力、解題思路帶來(lái)的影響較為明顯.