讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)森林一片

江蘇省蘇州市陸慕高級(jí)中學(xué) (215131) 萬(wàn)福昌

1 問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)中提出：“提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，其中所指的這個(gè)世界也應(yīng)包含數(shù)學(xué).

教學(xué)中，一方面鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)生活；另一方面，也要積極鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看數(shù)學(xué).我們面對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象或問(wèn)題，如何讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看數(shù)學(xué)？如何讓學(xué)生看到更多的數(shù)學(xué)背景，并在觀察、聯(lián)想、思考的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的能力和素養(yǎng)？

筆者在一次公開(kāi)課上嘗試用一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)想已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，多角度思考解決問(wèn)題的途徑.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)旨在探究如何讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)森林一片，公開(kāi)課得到了聽(tīng)課者好評(píng)，驚嘆學(xué)生的聯(lián)想能力和思維發(fā)散度.下面錄入課堂教學(xué)主要片斷，與同行們分享教學(xué)中的體會(huì).

2 案例

視角一：視為和積式

師：這個(gè)題目是我們所熟知的簡(jiǎn)單題，請(qǐng)根據(jù)已知條件和結(jié)論中的式子特征聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，并加以解決.

生1：已知為和、所求為積，聯(lián)想基本不等式.

視角二：視為三角函數(shù)平方關(guān)系

師：你能聯(lián)想到三角有關(guān)知識(shí)嗎？

生2：聯(lián)想到公式sin2θ+cos2θ=1.

師：同樣地，也可以聯(lián)想圓的方程或橢圓方程.

視角三：視為等差數(shù)列

師：你能聯(lián)想到數(shù)列有關(guān)知識(shí)嗎？

生3：聯(lián)想等差數(shù)列中項(xiàng).

視角四：視為平面幾何圖形中有關(guān)量.

師：能否聯(lián)想有關(guān)幾何圖形?

生4：構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用幾何或三角知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.

圖1

視角五：視為直線方程

師：有哪些式子和為1，能利用相關(guān)知識(shí)來(lái)解決嗎？

圖2

生6說(shuō)出了下列解法8.

視角六：視為函數(shù)求值域

師：求變量的范圍，還有什么方法？

生7：將xy消元變?yōu)橐辉瘮?shù)求值域.

視角七：視為方程的根

師：從方程的視角看，兩個(gè)數(shù)的和可以聯(lián)想到什么？

生8：聯(lián)想到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可構(gòu)造一元二次方程.

視角八：視為方程的系數(shù)

師：在求解二元變量時(shí)，除了消元變?yōu)橐辉瘮?shù)，還可以考慮整體設(shè)元，回帶求解.

生9提供了解法13.

師：整體設(shè)元，回代后視為一元二次方程的系數(shù)，再用判別式求范圍.

視角九：視為線性規(guī)劃問(wèn)題

師：在求線性規(guī)劃中，我們?nèi)绾吻蠓秶?

生10：將目標(biāo)函數(shù)視為整體，變?yōu)楹瘮?shù)和可行域有公共交點(diǎn).

視角十：視為工程應(yīng)用問(wèn)題

師：還能聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生11：聯(lián)想到應(yīng)用問(wèn)題中的工程問(wèn)題：一項(xiàng)工作，若甲、乙單獨(dú)完成分別為x,y小時(shí)完成，若甲單獨(dú)做2個(gè)小時(shí)，乙再做3個(gè)小時(shí)，恰好完成工作，求xy的最小值.

師：解法15將問(wèn)題特殊化，雖然解法不嚴(yán)謹(jǐn)，但敢于聯(lián)想，聯(lián)想到應(yīng)用問(wèn)題中的工程問(wèn)題還是值得肯定.

3 教學(xué)思考

師生共同探究下，學(xué)生通過(guò)聯(lián)想激活思維，對(duì)問(wèn)題“橫看成嶺側(cè)成峰”，使這節(jié)變成了一堂智趣的數(shù)學(xué)課.一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，可以用十種不同的視角，十多種不同的方法來(lái)解決，幾乎涵蓋了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、平面幾何、解析幾何、方程等數(shù)學(xué)的主干知識(shí).教學(xué)后有如下體會(huì).

3.1 讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)的森林一片

數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，一方面來(lái)源于生活實(shí)際需要，另一方面是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要.從數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程來(lái)看,數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展不只是實(shí)際需求的結(jié)果,也是數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾作用的結(jié)果.正負(fù)數(shù)不僅起源于為了表示具有相反意義的量,也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要.無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生也是如此.教學(xué)實(shí)踐中既要強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)的眼光看客觀世界，也要用數(shù)學(xué)的眼光數(shù)學(xué).

在不同的視角中，建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，積極發(fā)展學(xué)生的思維發(fā)散力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用意識(shí)，培育數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力.

3.2 數(shù)學(xué)聯(lián)想讓學(xué)生思維翩翩起舞

聯(lián)想是一種自覺(jué)的有目的的想象，是由當(dāng)前感知或思考的事物，想起有關(guān)的另一種事件，或由此再想起其他事件的心理活動(dòng)，豐富多彩的想象，往往有利于開(kāi)拓思路．只要善于想象，精心聯(lián)想，就能做到靈活解題．

在教學(xué)中，教師要善于鼓勵(lì)學(xué)生多角度的審視已知條件、結(jié)論，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，充分聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，著力培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維的習(xí)慣.

聯(lián)想需要數(shù)學(xué)知識(shí)做基礎(chǔ).如|x|=1，在數(shù)軸上看是兩個(gè)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中看是兩條直線，在復(fù)平面中是一個(gè)圓，在空間直角坐標(biāo)系中是個(gè)球面.掌握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，數(shù)學(xué)公式的特征十分必要，是數(shù)學(xué)運(yùn)用的前提，也是數(shù)學(xué)聯(lián)想活動(dòng)的關(guān)鍵.聯(lián)想思維的方式，主要有相似聯(lián)想、數(shù)形聯(lián)想、化歸聯(lián)想、整體聯(lián)想.在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，要針對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)容和特點(diǎn)展開(kāi)聯(lián)想，由于聯(lián)想的方式以及方向、角度不同，往往可以得出多種解法．而相似聯(lián)想、數(shù)形聯(lián)想、化歸聯(lián)想、整體聯(lián)想在解題中并不是獨(dú)立的，在同一題目中可以相互交錯(cuò)使用．

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生既會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，也會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看數(shù)學(xué).面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生充分聯(lián)想，多視角審視數(shù)學(xué)對(duì)象，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)森林一片.