重本質形成解題思路 探結構確定解題策略
——以解析幾何中“兩根不對稱”問題的求解為例

北京市第八十中學 (100102) 孫世林 李 丁

解析幾何的知識本質是用代數的方法研究幾何問題，所以代數運算是解決解析幾何問題無法回避的重要環節，在這個環節中根與系數的關系經常使用，但有時會出現x1+x2與x1·x2“結構不對稱”情形，使得無法直接應用根與系數關系進行求解，本文以一道模擬試題為例談談這種問題的解題思路與策略.

一、試題再現

(Ⅰ)求橢圓C的方程和離心率；

(Ⅱ)過點P(4,0)且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與直線x=1交于點Q，點M滿足MP⊥x軸，MB∥x軸，試求直線MA的斜率與直線MQ的斜率的比值．

二、解法探究

1.重知識本質形成解題思路

解析幾何較平面幾何最大的優勢是將運動變化用坐標來表示，實現用代數方法研究幾何問題，用代數方法探究運動變化的幾何圖形中某些不變的性質和規律.本題是過點P作直線l，隨著直線l運動變化，探究隨之運動變化的兩條直線MA和直線MQ的斜率的比值是定值，依據解析幾何的知識本質，我們從直線l入手，設直線l的方程為y=k(x-4)(k≠0)，將直線MA和直線MQ的斜率用直線l的斜率k來表示，通過代數運算得出其斜率的比值為定值.

2.探代數式結構確定解題策略

對于解析幾何問題即使解題思路清晰但也未必能順利解決問題，其中代數運算就是攔路虎之一，如本題解題思路清晰，但對兩直線的斜率之比的代入、變形、化簡是解決問題的關鍵，解法一中結合代數式的結構我們采取減少變量的方式，將比值化為含有k和x1的形式，在觀察比值的結構特征從而求解，可見在解決解析幾何問題中，探究代數式的結構特征，實現代數運算的關鍵，如何探究代數式的結構？我們看下面的解法.

3.揭本溯源探究解法的合理性

4.多角度探究豐富本題的解法

本題是過點P(4,0)作與x軸不重合的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求直線MA的斜率與直線MQ的斜率的比值，在解法1解法2都采取從直線方程的點斜式入手，我們也可以采取從直線l方程的橫截距式入手，可以使解題過程更簡潔.

點評：解法3采取了減少變量的方法，借助根與系數的關系將比值用m和y1表示，解法4通過探究y1y2與y1+y2的數量關系，將2my1y2=-3(y1+y2)代入分式實現分子分母結構相同，從而約分得解.

三、反思

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出：要注重培養學生的邏輯推理和數學運算素養.要求學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題；要求學生能夠在明晰運算對象的基礎上，理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.解析幾何是提升學生數學核心素養的重要載體.解析幾何問題的解決往往需要進行復雜的數學運算，為了提升運算能力，解題中要重視解題思路的探究以及運算的策略的分析，優化解題方法，設計運算程序，突破運算中的障礙節點，促進學生數學運算素養真正提升，另外，注意代數運算過程中的算理分析，探究運算規律，分析代數式的結構特征，培養學生在代數式變形中的結構意識，強化觀察運算方向的自覺性、強化關注運算結構的簡潔性、強化判斷運算方法的適合性，從本題的解法探究可以看出，解題中如果能從理解算理和掌握算法的角度去進行解題分析，就能夠在解題中發散解題思維，如果能夠長期從理解算理和掌握算法的角度思考問題，就能養成良好的思維習慣，最終實現數學運算素養的提升.