一道聯賽題的解法探究與反思*

福建省平潭縣第三中學 (350400) 薛臘松

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 林運來

競賽試題是數學題目中的經典力作，大都蘊含豐富的數學思想方法，變化靈巧，精彩迭出.因此，重視對一些典型競賽題的研究和探討，實屬必要.本文對2021年全國中學生數學奧林匹克競賽(初賽)暨全國高中數學聯賽A2卷第9題的解法進行探究，供大家參考.

一、試題呈現

題目已知△ABC滿足AB=1，AC=2，cosB+sinC=1，求BC邊的長.

分析：此題是聯賽一試解答題的起點題，把三角恒等變換以及正、余弦定理的應用作為考查的重點，考查了分析、推理、計算等關鍵能力，體現了高中數學教學對三角函數學習的基本要求，有助于學生正確認識三角函數知識的重要性.試題數量關系簡潔，計算過程簡單，有利于考生穩定發揮.

二、解法探究

思路1 先求三角形內角的函數值，再求三角形邊長.

思路2 利用余弦定理直接求三角形邊長.

思路3 利用射影定理求解.

思路4 構造直角三角形，利用銳角三角函數求解.

圖1

思路5 構造直角三角形，利用勾股定理求解.

三、解題反思

“三角”一詞的希臘文原意是三角形和測量，最初的理解是指解三角形的計算.后來，歐拉引入了三角函數，使三角比(正弦、余弦、正切等)不僅和解三角形有關，而且大大豐富了“三角”的內容.18世紀后，“三角”是被看作包含三角函數和解三角形兩部分內容的一門數學的分學科.三角函數在數學和其他學科領域中具有非常廣泛的應用，它是中學數學乃至高等數學的重要基礎知識之一.

一般地，涉及三角形邊角關系類的試題，綜合性較強，不僅涉及正弦定理、余弦定理、三角形的幾何性質，還會涉及各種三角變換.其常規解法就是利用正(余)弦定理進行邊角關系的互化，有時還需利用三角公式進行恒等變形.中學數學的學習中，三角函數的定義或是聯系著一個直角三角形，或是聯系著一個直角坐標系，或是聯系著一個單位圓，總之離不開一個圖形，這就為學習“三角”時實現數形結合提供了一條理想的途徑.“數形結合”是基本的數學思想之一，正如著名數學家華羅庚所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”.對本題而言，相對于常規的解法1、解法2和解法3而言，解法4、解法5通過畫圖，再利用圖形來進行計算和推理，不僅使問題變得形象直觀、一目了然，而且極大地減少了運算量，使問題化繁為簡，應引起足夠的重視.