例談三角函數(shù)問題求解中的設而不求

甘肅省靈臺縣第一中學 (744000) 王海燕

設而不求是一種重要的數(shù)學思想方法，在三角函數(shù)問題中常結合設而不求的方法來解決問題.

1.三角函數(shù)求值中的設而不求

對于三角函數(shù)sinx,cosx與tanx的求值，充分利用三角函數(shù)基本關系式，和角公式、倍角公式進行三角恒等變形，要優(yōu)先考慮用已知角表示所求角，從而使解題過程得到優(yōu)化．

例1 計算(1) sin10°sin30°sin50°sin70°；

(2)sin220°+cos250°+sin20°cos50°.

評注：本題設了對偶式，根據(jù)對偶的兩個式子的和、差，積求得關系，進而求解.

2.三角函數(shù)周期中的設而不求

三角函數(shù)的周期體現(xiàn)了三角函數(shù)值重復出現(xiàn)時自變量的間隔，對于函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)，其周期是由ω決定的，ω大小決定著函數(shù)圖象伸縮的幅度．

評注：本題中結合了三角函數(shù)的周期性，將滿足題設條件的所有x1,x2可能取值整體表示了出來，此解法引入了整數(shù)元k和m有利于簡化解題過程．

3. 三角函數(shù)對稱性中的設而不求

對于一般的三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)，既具備周期性，其圖象也具備對稱性，二者密切關聯(lián)．函數(shù)的半周期是兩相鄰對稱軸間的距離，函數(shù)所有零點是對稱中心的橫坐標，相鄰零點的距離也是半周期．因此?x1,x2∈R，若函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象關于直線x=a對稱，則x1+x2=2a的充要條件是f(x1)=f(x2)；若f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象關于點(a,0)中心對稱，則x1+x2=2a的充要條件是f(x1)+f(x2)=0．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求其圖象的對稱軸方程；

評注：依據(jù)對稱性可知α+β為定值，α與β的間距恰好是β(或α)與對稱軸的間距的2倍，對目標恒等變形之后，抓住方程的根滿足方程適時代換，設而不求，從而解決問題．

4.變量整體代換中設而不求

在解決許多三角函數(shù)問題時，需從全局著眼審視各個量之間的來龍去脈，尋覓各變量之間的聯(lián)系，整體把握問題命脈，通過設而不求，整體代換，實現(xiàn)整體解題．

圖1

5.解三角形中設而不求

例5 已知直線li:3x-4y+ai=0，其中ai是公差為5的等差數(shù)列{an}的第i項.在直角△ABC中，∠ABC=90°，A∈l1,B∈l3,C∈l4，求△ABC面積的最小值．

圖2

評注：本題設出∠ABD后，把三角形△ABC的面積用∠ABD的三角函數(shù)表示出是解題的關鍵.

6.三角函數(shù)求導中設而不求

例6 已知函數(shù)f(x)=eax-sinx-1，曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y=b.求函數(shù)f(x)在(-π,0)零點的個數(shù).