一道三角形面積最小值問題的多解探究

黑龍江省大慶第一中學 (163000) 程 欣

解三角形是高考數學常考知識點，若涉及求解三角形面積的最小值，則往往需要考慮基本不等式或三角函數知識在解題的靈活、綜合運用，求解此類問題有利于幫助我們順利破解目標，提高分析解決問題的能力.

1.題目呈現

2.解法探究

思路1：(面積法)處理解三角形問題時，根據具體的圖形，可考慮利用“分割組合思想”，有利于從面積角度出發去分析、運用圖形特征，進而為目標問題的獲解創造有利條件.

評注：該解法的關鍵是先得到邊長a,c滿足的關系式，再靈活運用基本不等式加以求解.

思路2：(建系法)由于解三角形問題涉及到具體的平面圖形，所以可在適當建立平面直角坐標系的基礎上，靈活運用有關解析幾何知識，或者有關平面向量知識加以求解.

圖1

思路3：(向量法)由于平面向量具有“數”和“形”的雙重功能，所以處理有關解三角形問題時，可結合圖形，考慮有關平面向量知識(尤其是向量的線性表示)在解題中的靈活運用.

思路4：(定理法)處理解三角形問題，最基本最常用的方法就是考慮正、余弦定理的靈活運用.需要關注兩點：一是余弦定理的“多次”運用；二是先巧作輔助線，再靈活運用正、余弦定理解題.

圖2

評注：解法4體現了三角形角平分線性質定理與余弦定理的綜合運用；而解法5體現了線線平行的性質與正弦定理的綜合運用.此外，還可以過點D作BC的平行線，進行求解.

思路5：(平幾法)由于解三角形問題，涉及具體的平面圖形，所以可在適當巧作輔助線的基礎上，有意識地去考慮初中所學平面幾何知識在解題中的靈活運用.

圖3

評注：該解法完全是根據初中平面幾何知識，求得2(a+c)=ac，故值得關注、學習！

思路六：(參數法)處理三角形面積最值問題時，可結合圖形，靈活引入角參數，將三角形的面積表示成關于角參數的函數表達式，從而可借助有關三角函數知識加以靈活求解.

評注：該解法的關鍵是引入角參數，將目標問題等價轉化為求三角函數表達式的最小值.

3.推廣探究

4.解后反思

綜上，本題設計較好，看似簡單，實則內涵豐富，具有較強的訓練價值和研究價值.顯然，不同的思維切入點，往往可以獲得不同的解題體驗，真可謂“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，需要我們在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題的技能技巧.

從本質上講，借助“一題多解”的教研方式，不僅有利于幫助我們突破以往的局限性解題思維模式，探尋最優解題思維；而且也有利于幫助我們逐步實現舉一反三、融會貫通之目的.因此，在未來的數學學習中，我們可以選取一些典型試題，深層次挖掘，拓寬解題思維，促進教師的專業成長，進一步提升數學核心素養.