例談伸縮變換法在解題中的應用

江蘇省如皋中學 (226500) 王宏兵

1.伸縮變換的定義

2.伸縮變換的性質

本文先給出幾條伸縮變換的常用性質，再利用這些性質破解幾道橢圓的最值問題和中點弦問題.

(1)經過上述伸縮變換φ，點M變換為點M′，直線l變化為直線l′，若點M∈直線l，則點M′∈直線l′；

(2)經過伸縮變換φ，對應地l→l′,m→m′，若直線l∥直線m，則變換后l′∥m′，若直線l∩直線m=點P，則變換后直線l′∩直線m′=點P′；

3.伸縮變換的應用

評注：借助伸縮變換將橢圓化為圓，將問題轉化成計算圓上的到與它相離的直線的距離最小時的點的坐標，減少了運算量.

(1)求C的方程；

(2)點N為C上一動點，求△AMN的面積的最大值.

評注：本題第(2)問運用伸縮變換法將求橢圓的給定條件的內角三角形面積問題化歸為單位圓的內接三角形面積問題，運用點到直線距離公式、圓的弦長公式以及圓的幾何性質可以順利解答，降低了運算量.

評注：本題是一道橢圓的定值問題，如果運用直角坐標法的話運算量非常大，本解法運用伸縮變換法將橢圓中的問題化歸為圓中的問題，由等邊三角形的性質：若一個三角形的外心與內心重合，則這個三角形為等邊三角形，可以確定△A′B′C′為等邊三角形，再運用正弦定理可以計算出其面積，由伸縮變換的性質，可以確定△ABC的面積為定值.

圓和橢圓的都是高中數學主干知識，運用伸縮變換法體現的是化歸與轉化思想的運用，將橢圓中的問題化歸為圓中的問題，相比較可以簡化數學運算和溝通數學知識之間聯系，落實數學運算、邏輯推理和直觀想象數學核心素養的培養，促進學生深度學習，培養學生創新思維.由于伸縮變化法解答雙曲線和拋物線問題不那么簡潔完美，本文不再探討.伸縮變換法在橢圓問題中更廣泛的應用有待于在教學和學習實踐中進一步探究和總結.