一道高三質檢題的多解探究

福建省福清港頭中學 (350317) 黃 印

福建省福清第三中學 (350315) 何 燈

一、試題呈現

題目已知f(x)=ex-1-x.

(1)求證：對于?x∈R，f(x)≥0恒成立；

(2)若對于?x∈(0,+∞)，有f(x)≥a(x2-x-xlnx)恒成立，求實數a的取值范圍.

本題是2022年沈陽高三質檢第22題.該題題干簡單且問題以學生熟悉的方式呈現，解題入口比較寬，方法多樣.本題在考查基礎知識的同時，注重考查能力，將知識、能力與素養的考查融為一體，突出考查數學理性思維，著重考查對數學本質的理解，真正全面考查數學素養.筆者對本題的第(2)問進行了思考、探究與求解，與大家交流．

二、第(2)問解法探析

1、整體代換

2、分離參數

①當x=1時，易知f(x)≥a(x2-x-xlnx)恒成立，此時a∈R.

綜上，實數a的取值范圍(-∞,1].

3、直接求導

評注3：直接求導是不等式恒成立問題常見的一種思路，是通解通法.思路簡單，但執行難度較大，特別是本題對參數進行分類討論時，參數的分界點不是通過反客為主、幾何意義、導數明顯為正或負這些常見的常用方法找到的，也就是說無法主動篩選出界點，只能被動找界點，這就增加了求解難度．

4、基于直觀

∴由(1)得ex-1-ax≥ex-1-x≥0，此時可知g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增.故g(x)在x∈(0,+∞)的最小值為g(1)=0，即f(x)-a(x2-x-xlnx)≥0恒成立.

綜上，實數a的取值范圍為(-∞,1].

評注4：對參數a的取值進行界定是不等式恒成立問題的一大難點.首先需要找到f(x)≥a(x2-x-xlnx)取等時候方程的根，即G(x)的零點1，借助于直觀判斷，分析得到G″(x)≥0在x=1左右兩側附近成立，從而得到G″(1)=1-a≥0，繼而得到a≤1.有了這樣的直觀預測，問題轉化為研究當a≤1，G(x)≥0恒成立，當a>1，G(x)≥0不恒成立，剩下的只需按圖索驥進行論證即可.

三、解后反思

不等式恒成立求參數范圍的導數問題是高考的熱點內容，備受高考命題專家的青睞.其具有很強的包容性，涵蓋面廣，故創新性極強[1].函數結構形式變化多端，花樣繁多，使人應接不暇.由此造成我們無法用統一的解法來應對這類形式千變萬化的問題．那么如何能夠更好地求解此類問題呢？筆者根據多年的解題感悟體會到應注重通性通法并且兼顧巧法．

縱觀近幾年的高考試題，大多數的題目是不能通過分離參數轉化為求最值的，只能使用分類討論的逐段篩選法，而分類討論的難點是如何篩選出界點.那么怎樣才能快速有效的篩選出參數分類討論的界點？筆者認為可以借助數學直觀，通過直觀感知題意和直觀判斷解題方向，達到對問題結論的直觀預測.直觀感知避免了直接求導法無法用常規方式發現界點的弊端，同時降低了尋找界點的難度，并且大大簡化了解題的思路與解題的過程.