基于問題驅動的拓展課設計
——以“反比例函數圖象和性質”為例

浙江省寧波市海曙區集士港鎮中學 (315171) 張 丹

《義務教育數學課程標準》(2011年版)的“綜合與實踐”是以問題為載體，培養學生問題意識、應用意識和創新意識的學習活動.浙教版教材是通過設置“探究活動”、“設計題”和“課題學習”等選學材料來體現.但是，多數教師對教材中這些材料處理一般是“視而不見”，或讓學生“自主學習”，因此很少有學生去花時間研究在教師看來“毫無意義”的學習內容.事實上，這些材料在教材中不是可有可無的，它有助于學生學習能力和數學素養的提升，是教材內容的重要組成部分〔1〕.對于教材中選學內容教學，教師可以采用拓展課的形式，促進學生深度學習：即在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的學習過程〔2〕.本文筆者從浙教版《數學》八年級下的一道“設計題”出發，整合三角形、四邊形等相關知識，開展了一節“反比例函數圖象和性質”的拓展課，現把執教過程與思考予以展示，與同仁分享.

一、目標設定

基于學情分析與設計題的表述，筆者設定以下的教學目標：

(1)學生通過經歷觀察、猜測、驗證和證明的全過程，理解反比例函數的圖象關于y=x和y=-x成軸對稱的性質，及雙曲線中直線運動產生的線段保持等量關系的性質.

(2)學生通過一系列問題解決，培養自身的數學思維、問題意識和創新意識.

(3)學生通過教師引領、獨立思考和合作交流，進一步提升自身的幾何直觀、邏輯推理和模型思想等數學素養.

二、教學過程

1．呈現問題，激發興趣

圖1

(1)求k的值；

(2)求a,b,c的值；

(3)求點D關于原點O的對稱點坐標.

2.深化問題，探索性質

師：從問題1解決中，我們可以看到，關于坐標原點成中心對稱的兩點坐標間關系是“對稱點的橫、縱坐標是互為相反數”，我們繼續探索以下問題.

問題2 觀察上題中A,B,C,D各點的坐標特征，回答下面問題：

(2)從圖形直觀上來看，點A與點D，點B與點C，點P與點Q是否關于同一條直線對稱？

生1：A坐標為(1,6)，D坐標為(6,1)，B坐標為(2,3)與C坐標為(3,2)，可見A與D，B與C的坐標關系是“橫、縱坐標互換位置”.

生3：點A與點D，點B與點C，點P與點Q都關于第一、三象限的角平分線對稱.

師：它們都關于第一、三象限的角平分線對稱，即關于y=x對稱，那么，怎樣證明“點P(a,b)和Q(b,a)關于直線y=x對稱”呢？

學生陷入沉思之中，很多學生處于惘然.略待片刻，教師緩緩提示：以前我們是怎樣證明“點(a,b)和點(-a,-b)關于原點成對稱”？

生4：如圖2，不妨設a,b都大于0，分別過點P、Q作PN⊥X軸，QM⊥Y軸,垂足為別為N、M.則OM=ON=b,QM=PN=a,∠PNO=∠QMO=90°,所以⊿PNO≌⊿QMO,于是，OQ=OP,∠QOM=∠PON,故∠QOG=∠POG,即PQ被直線y=x垂直平分，所以點P(a,b)和Q(b,a)關于直線y=x對稱.

圖2

師：漂亮﹗生4完美證明了雙曲線關于直線y=x成軸對稱圖形.那么，雙曲線除了直線y=x是對稱軸以外，還有沒有其他的對稱軸？

剛進入興奮狀態的學生，一下懵住了，過了片刻，生5起來回答.

生5：老師，另一條對稱軸會不會是第二、四象限的角平分線y=-x？

師：你猜得太對了，雙曲線與以前學習過的矩形、菱形一樣，有2條互相垂直的對稱軸.它的證明過程與生4敘述的過程類似.具體的證明，請同學們回去自己研究.

設計意圖：教師從學生已有的關于坐標原點對稱點的坐標規律出發，讓學生研究A(1,6)與D(6,1)、B(2,3)與C(3,2)、P(a,b)與Q(b,a)的坐標關系，發展學生數據分析觀念；再借助圖形直觀，讓學生直觀感受雙曲線的軸對稱性，培養學生的幾何直觀素養；讓學生經歷觀察、猜測、驗證和證明的學習活動全過程，既提升了學生邏輯推理數學素養，又積累了活動經驗.

3.拓展問題，應用性質

師：雙曲線既是一個以原點為對稱中心的中心對稱圖形，又是一個2條對稱軸互相垂直的軸對稱圖形.這個性質與以前學習過的矩形、菱形的對稱性比較類似，下面我們繼續探討以下問題.

圖3

圖4

師：真的嗎？你能否給我們說一下“雙曲線中不存在菱形”的理由.

生7：因為菱形的四個頂點都在2條對稱軸上，而雙曲線中有1條對稱軸y=-x是在第二、四象限，所以它不可能與雙曲線有任何交點.

師：說得真好﹗在圖4的矩形ABCD中，隱去矩形的三邊BC、CD、DA，作直線AB與坐標軸交于兩點，得到問題3.

圖5

生8：取AB的中點P,聯接OP，則OP所在的直線為y=x.由于AB⊥直線y=x，易得△OPD、△OPC是等腰直角三角形，于是PD=OP=PC,所以AD=BC.

生9：點P既是AB的中點，也是CD的中點.

教師操作幾何畫板，把直線l繞著點A旋轉，讓學生探討問題4.

圖6

于是，很多學生畫圖、測量、討論，也有幾個學生在靜靜地思考之中，過了一會兒，有一位學生起來回答.

生10：我一開始就想，會不會盡管直線l繞點A在旋轉，而AD=BC的數量關系沒有變化呢？畫圖測量之后，結果的確如此.

教師利用幾何畫板的測量工具，進一步驗證生10猜想的正確性.

圖7

師：證明兩線段相等，常用全等三角形方法，那么怎樣構造兩個三角形呢？

生眾：過點A、B分別作y軸、x軸的垂線，垂足分別為M、N.顯然∠AMD=∠BNC，∠MAD=∠BCN.還差一個邊相等條件，比如AM=CN.

師：在圖7中，已有AM∥CN，欲證AM=CN，聯接MN，則只需證四邊形ACNM是平行四邊形，那么這該如何證明呢？

在新課程標準下，課堂以“學生為中心”的教學理念，更加體現了歷史學融入語文課堂的必要性。歷史學的融入讓語文課本的人文性更加生動風趣，讓學生愿意去接受和理解原本晦澀難懂的語言和文字，激發了學生的學習興趣，由原先“要我學”的教學模式變成了“我要學”的課堂模式，從而真正實現“以生為本”的課堂模式，實現素質教育。

生眾：只要證明AC∥MN，考慮到反比例函數k的幾何意義，應該用面積方法去證明.

生11：如圖7，聯接OA、OB、BM、AN.因為AM∥x軸，所以S△OAM=S△NAM，同理S⊿OBN=S⊿MBN，由于S⊿OAM=S⊿OBN=k，故S⊿NAM=S⊿MBN，所以AB∥MN.于是，四邊形ACNM是平行四邊形，所以AM=CN，易證⊿AMD≌⊿CNB，所以AD=BC.

師(驚喜)：很好，生12用解析法證明AB、CD的中點重合，從而說明AD=BC，是個好方法.我們繼續探討下面問題.

圖8

(1)請探究OF與CE的數量關系；

(2)聯接OA、OB，請探究⊿AOB與直角梯形AFEB的面積關系.

設計意圖：本教學片段是讓學生從雙曲線的對稱性聯想到平行四邊形、矩形、菱形和正方形的對稱性，然后“從特殊到一般”探討直線與雙曲線、坐標軸的交點構成線段的數量關系，最后讓學生研究“原點三角形”與直角梯形面積關系.筆者遵循“從簡單到復雜”、“從特殊到一般”規律設置問題序列，旨在通過學生自主探究、合作交流和師生互動的方式，積累活動經驗、展現思考過程、培養創新意識.

4.解決問題，提升素養

圖9

例2 如圖10，過原點的直線與反比例函數y=的圖象交于A、B兩點，點A在第一象限，點C在x軸正半軸上，連接AC交反比例函數圖象于點D.AE為∠BAC的平分線，過點B作AE的垂線，垂足為E，連接DE.若AC=3DC，⊿ADE的面積為8，求k的值.(2019年寧波中考第18題)

圖10

設計意圖：例1與例2是問題6結論的兩個應用，解決例2需要學生綜合運用幾何和代數兩大內容領域的知識.設計這兩個例題是為了培養學生的“數學建模”素養、“轉化與化歸”思想及綜合運用知識解決問題能力，而培養學生數學素養、數學思想和應用意識應該是數學拓展課的首要目標.

5.反思小結，分享成果

圍繞以下問題進行反思：本課的研究過程是怎樣的？有哪些研究方法？

通過反思，讓學生主動把雙曲線對稱性與矩形對稱性進行類比，在探索過程中體會數學中“變”與“不變”的關系，領悟研究數學從“簡單到復雜”、從“特殊到一般”思維方法.

設計意圖：通過反思小結，讓學生感悟知識間的聯系，優化知識結構和體系；掌握數學研究方法，不斷積累學習活動經驗.

三、幾點思考

教師要開展拓展課教學，應該做好以下三個方面的工作.

1.關注學生現實，促進深度學習

在本課中，筆者是從學生已有知識“雙曲線中心對稱性”出發，圍繞“雙曲線對稱性”主題，讓學生經歷探究“雙曲線的軸對稱性”、“雙曲線中的四邊形”、“雙曲線中直線運動產生的線段保持等量關系”等問題過程.在探究過程中，有畫圖、測量、猜測和驗證等學生動手操作和自主探索過程；有師生合作交流中互相質疑、釋疑和解疑的過程；在學生迷惑時，幾何畫板介入給學生探究提供幾何直觀支持的過程.

2.凸顯數學本質，設置階梯問題

在本課中，筆者以問題為引領，從易到難依次設計6個階梯問題.問題從“雙曲線的軸對稱”、“雙曲線中的四邊形”、“雙曲線中的相等線段”最后到“原點三角形與直角梯形面積相等”，解決問題所需的知識和思維層層遞進，讓不同層次的學生都獲得成功的體驗.

3.提升數學素養，培養應用意識

在本課中，筆者依次設置問題3、問題4與問題5的三個問題，讓學生在探究中經歷了兩次從“特殊到一般”過程，培育學生的數學抽象素養；在問題4探究中借助幾何畫板驗證，培育學生的幾何直覺素養；在問題5證明中的“幾何綜合”證明和“代數解析”證明，培育學生邏輯推理.本課最后2個例題的解決，是利用問題6的結果作為數學模型，旨在通過問題解決培養學生的應用意識.