例析高考數(shù)列誤中悟*

廣東省深圳市羅湖區(qū)翠園文錦中學 (518002) 張正華

安徽省銅陵市樅陽縣浮山中學 (246736) 唐錄義

數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是高考的必考點，學好數(shù)列對于提高數(shù)學成績至關(guān)重要.然而學生在學習數(shù)列時往往在以下八個方面容易出錯，如果我們對這幾個方面的常見典型錯誤引起注意，洞察錯因，反思務本，對于學好數(shù)列大有裨益.

典誤1忽視數(shù)列首項的重要性

案例1 已知{an}的前n項之和Sn=n2-4n+1,則|a1|+|a2|+…+|a10|的值為( ).

A.68 B.67 C.61 D.60

查誤索因：已知Sn求an時,an=Sn-Sn-1，(n>1) 易忽略n>1的情況,而a1=S1=-2.這是對定義理解不透徹.

反思務本：等差數(shù)列作為基礎數(shù)列，首先關(guān)注首項與公差，有很多題都是由等差數(shù)列衍生而來的，所以要由學生靈活掌握，在熟悉基礎數(shù)列的基礎上才能更好更快的解題.

典誤2忽視等比數(shù)列各項均不為零

案例2 已知Sn表示{an}的前n項和，Sn-Sn+1=an(n∈N+)，則{an}一定是( ).

A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列

C.常數(shù)列 D.以上都不正確

考點涉及：數(shù)列通項公式an與其前n項和Sn之間的關(guān)系，等比數(shù)列的概念.

誤解呈現(xiàn)：由Sn-Sn+1=an(n∈N+)，得-an+1=an，即an+1=-an，所以{an}是以公比為-1的等比數(shù)列，故選B.

正解參考：由Sn-Sn+1=an(n∈N+)，得-an+1=an，即an+1=-an，當a1=0時，an=0，為常數(shù)列，同時也是等差數(shù)列；當an≠0時，{an}是以公比為-1的等比數(shù)列，故選D.

反思務本：等差、等比數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，通項公式、求和公式.簡單遞推式求通項.突出了“小、巧、活”的特點.

篤行溫焐：已知數(shù)列{an}中，滿足a1=1，an2-2anan-1-an-4an-1-6 = 0，bn=an+2且數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.求數(shù)列{an}的通項公式.

典誤3忽視等比數(shù)列公比的可正可負性

反思務本：實際上，在等比數(shù)列{an}中，當公比q>0時，an·an+1>0，即相鄰兩項同號；當q<0時，an·an+1<0，即相鄰兩項符號相反.也可以說，在等比數(shù)列中，所有偶數(shù)項同號，所有奇數(shù)項也同號.不能忽視符號的判定.

篤行溫焐：已知x>0,y>0，將x，y，-1，-8適當?shù)呐判蚝蟪傻缺葦?shù)列，求2x+3y的最小值.

典誤4忽略由Sn求an或含第n-1項的遞推公式中n≥2的前提

反思務本：我們的認知是1·a1是數(shù)列{nan}的首項，也就慣性思維認為{nan}是以a1=1為首項的等比數(shù)列，實際上是從第二項為首項的等比數(shù)列.對于新數(shù)列的本質(zhì)把握不全面，導致首項定義出錯.

典誤5忽略等比數(shù)列前n項和公式中q=1的情況

案例5 等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S3+S6=2S9，求公比q.

篤行溫焐：已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7,S6=63，則數(shù)列{nan}的前n項和為( ).

A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2n

C．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n

典誤6忽視數(shù)列求和中對項數(shù)的甄別

案例6 設f(n)=2+23+25+27+…+24n+3(n∈N*),則f(n)=( ).

反思務本：習慣性思維認定數(shù)列求和就是求前n項和，而沒審清題意到底有多少項而致錯.在解決數(shù)列問題時，找準數(shù)列的項數(shù)是必不可少的，要把握數(shù)列的項的構(gòu)成規(guī)律，主要是要善于觀察數(shù)列通項公式的特點.

篤行溫焐：已知等差數(shù)列{an}中，a2=5，前4項和S4=28.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn=(-1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.

典誤7忽略數(shù)列是定義域為正整數(shù)集或其子集的特殊函數(shù)

案例7 已知{an}是遞增數(shù)列，且對任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是( ).

A.[0，+∞) B.(1，+∞)

C.[-2，+∞) D.(-3，+∞)

(方法二)因為{an}是遞增數(shù)列，所以an0對任意n∈N*恒成立，可得λ>-2n-1對任意n∈N*恒成立，又-2n-1≤-3,所以λ>-3.故選D.

反思務本：數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型.如果數(shù)列{xn}滿足xnxn+1，n=1,2,3…，則稱數(shù)列{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列.主要判定方法有：比較法，函數(shù)法，導數(shù)法等.

典誤8在數(shù)列求和中錯位相減法過程不規(guī)范或解答結(jié)果不到位

反思務本：一般情況下對于數(shù)列{cn}有cn=anbn其中數(shù)列{an}和{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項和可通過在原數(shù)列的每一項的基礎上都乘上等比數(shù)列的公比再錯過一項相減的方法來求解,我們把這種方法就叫做錯位相減法.利用錯位相減法求解數(shù)列的前n項和時，應注意兩邊乘以公比后，對應項的冪指數(shù)會發(fā)生變化，為避免出錯，應將相同冪指數(shù)的項對齊，這樣有一個式子前面空出一項，另外一個式子后面就會多了一項，兩式相減，除第一項和最后一項外，剩下的n-1項是一個等比數(shù)列．

篤行溫焐：已知等差數(shù)列{an}滿足:an+1>an(n∈N*)，a1=1，該數(shù)列的前三項分別加上1，1，3后成等比數(shù)列，an+2log2bn=-1.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式;(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.