揭開不動點求數列通項公式的教學困惑

福建省廈門實驗中學 (361000) 黃耿躍

在一些期刊論文和競賽書籍中，經常提到用不動點的方法求解數列通項公式，這種解法對于學過高等數學的老師來講,應該是比較熟悉的，對參加競賽的學生來講，也是比較容易接受的，但如果把該方法在課堂上進行講授，發現很多學生聽起來是一頭霧水，感覺很突然.筆者通過研究發現，只要能抓住數列的函數本質，對理解不動點求數列通項公式也是比較容易的，是可以解決老師講解此類問題的教學困惑.本文首先給出不動點理論知識，再進行不動點求解的本質分析，同時結合一道期末試題進行剖析，期望對一線老師的教學有一定的幫助.

一、不動點理論的相關知識

定義若數列{an}滿足遞推公式an+1=f(an),則稱函數y=f(x)為數列{an}的遞推函數,若存在x0使得f(x0)=x0,則稱x0為函數y=f(x)的不動點.

定理1 若f(x)=px+q(p2+q2≠0),x0為f(x)的不動點,{an}滿足an=f(an-1)(n≥2)，則{an-x0}是以p為公比的等比數列.

(1)若f(x)只有一個不動點x1,則數列

二、不動點的本質揭示

定義本質：方程f(x0)=x0的根x0是函數y=f(x)的圖象與直線y=x圖象交點的橫坐標，在數列中{an}，當a1=x0，則a2=a3=…=an=x0，此時，數列是一個常數數列.

定理1追問：為什么會想到構造等比數列{an-x0}？

分析1：因為an=f(an-1)(n≥2)，所以an=pan-1+q，在方程兩邊都減去x0后可得等式an-x0=pan-1+q-x0恒成立.因為x0為f(x)的不動點，所以當an=x0時，必有an-1=x0，所以等式的右邊一定含有因式an-1-x0，所以等式必可以寫成an-x0=p(an-1-x0)，從而構造出等比數列{an-x0}.

分析2：因為x0為f(x)的不動點，所以直線f(x)=px+q必過點(x0,x0)，利用點斜式方程，利用點斜式方程，所以直線方程可以寫成y-x0=p(x-x0)，因為點(an-1,an)在直線上，所以an-x0=p(an-1-x0)恒成立，從而構造出等比數列{an-x0}.

事實上，定理2(2)是在定理2(1)的基礎上，分別構造出{an-x1}與{an-x2}兩個數列，再進行相除，即可構造出一個新的等比數列.

三、典例剖析

B.若{an}為遞增數列,則a1>1

C.若{an}為等差數列,則a1≤0

第一步，作出函數f(x)與y=x的圖象如圖1；

圖1

第二步，求出函數的不動點(1,1)；

第五步，利用放縮法即可證明不等式.

總之，初等數學與高等數學之間的聯系是比較緊密的，近幾年高考在命制區分度較高的試題，常常依托于一些具有高等數學背景的試題，本文所給的利用不動點知識求解數列通項公式問題也是高考命制試題時常采用的方法，希望對拓寬老師和學生的知識面起到一定的補充作用.