三角函數中“雞爪模型”的變式分析*

福建省泉州市第七中學 (362000) 黃婉真 杜成北

高考中解三角形問題涉及知識點主要有：正弦定理，余弦定理，三角恒等變換公式，面積公式，三角形“四心”、中線、高線、角分線性質等.本文以泉州市2022屆高中畢業班質量檢測(一)第17題為例，談談“雞爪模型”的解題策略及變式分析，希望對讀者有所幫助.

1 題目呈現

本小題主要考查解三角形與三角函數基本公式等基礎知識；考查抽象概括、邏輯推理、運算求解等能力；考查數形結合思想、函數與方程思想；體現基礎性與應用性，導向對發展直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養的關注.

2 題目探源

本題的命題思路源于2021年全國新高考Ⅰ卷第19題：記△ABC是內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.(1)證明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

兩道題的第(1)小題都設計了對正弦定理或者余弦定理的考查，問題相對比較簡單，這里就不再贅述了.而在第(2)小題，兩題都涉及到點為線段分點的情況，只不過兩道題目在問題呈現方式各有不同，一個求長度，一個求角度. 泉州市質量檢測(一)中，解題的關鍵在于利用余弦定理或者向量法求解.而全國新高考Ⅰ卷中，則是利用等面積法或者向量法求解.

3 解題思路探析

(1)過程略；

4 題目拓展

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，已知(a+c)(a-c)=b(b+c).

(1)求角A的大小；

(2)在下列三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答.

若b=3，c=4，點D是BC邊上的一點，且.求線段AD的長.

①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中線；③AD是△ABC的角平分線.

5 題型歸納

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，點D是BC邊上的一點，就形成了如圖1的“雞爪模型”，這里按其中一爪AD的類型進行分類：

圖1

(1)若AD為高線，通常聯系面積公式求解.

(2)若AD為中線，可以參考解法2用向量法求解.

(3)若AD為角平分線，則利用等面積法是最快捷的解法.

(4)若D為線段BC的其他等分點，問題求的是AD的長度，一般用以下兩種處理方式:

6 變式分析

“雞爪模型”問題除了求AD長度之外，還可以給出AD長求∠BAC大小，或者求點D在BC上的分點情況等，解題思路跟上面大同小異.以下是筆者給出的變式，讀者可以牛刀小試一下.