順勢而為 拓展思維
——以一道圓錐曲線中的定點問題為例

福建省龍巖第一中學 (364000) 劉文娟

解析幾何的本質是用坐標法研究幾何問題，這不可避免地會涉及數學運算，然而在解析幾何問題解決的過程中，很多學生都在運算方面出現了問題，從而導致解題困難.另外，解析幾何問題還考查學生分析問題的能力，考查學生能否將幾何特征代數化，并用代數的方法解決問題，再將代數結論與幾何問題融合思考，探究代數結論的幾何內涵，從而尋找出解析幾何問題的基本思想方法.因此，在解析幾何的教學過程中，要給學生留足思考時間，引導學生學會思考、分析、計算，同時適當變形，又能促進學生數學運算理解，這樣既有利于發展學生的邏輯推理能力，又可以提高數學運算等學科素養.筆者以一道解析幾何的解答題為例，開展解題教學，教學效果較好，現與同行交流研討.

1 問題呈現

此題是一道關于直線和橢圓位置關系的綜合題.第(Ⅰ)問是比較基礎的問題，根據橢圓的對稱性，能夠求出其方程；第(Ⅱ)問重點考查直線與橢圓的綜合問題，如何運用“直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1”這一條件是本題的切入點，同時參變量的選取，解題規范性，數學運算對學生來說，都是挑戰.

2 問題分析

評注：第(Ⅰ)問對大多數學生來說難度不大，但仍然有部分學生沒有寫出解答過程，直接寫出橢圓方程，解題不規范.

3 變式探究

引導學生改變題目的條件和結論，將試題進行變式探究，可以較好地刺激學生對所學材料的興趣，活躍學習氣氛.平時教學過程中，教師要適當引導學生分析探究問題，抓住題目的本質，并對典型試題做分析，適當變形，舉一反三，這樣既能促進學生積極思考問題，又能拓展學生的思維能力，從而提升學生的數學素養.

4 問題推廣

本節課后，筆者對課堂上的試題進行反思，將試題做了如下推廣：

推廣2 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，O為坐標原點，若A、B為C上不同于O的兩個動點，直線OA與直線OB的傾斜角分別為α,β，當α,β變化且α+β為定值θ(0<θ<π).

5 思考反思

一道成功的試題往往意境深遠，具有較強的“再生”能力與發展空間，我們可以把它作為知識與能力的生長點，引導學生探究其本質，多角度地考慮問題，開闊視野，拓展思維.數學家波利亞說過：“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”.回顧就是解題反思，它是整個解題過程的再思考、再發現、再創造的過程.教師要引導學生做好解題反思，通過題目的引申、變化、發散，探究問題的本質，從而提升學生的解題思維能力.