橢圓中一個三角形最大面積問題

山東省鄒平雙語學校 (256200) 姜坤崇

山東省濰坊市昌樂縣實驗中學 (262400) 侯建敏

對于這個問題，筆者經過探討，得到了如下兩個有趣的結論.

證法1：(i)當直線AB不與x軸垂直時(如圖1)，設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+m(m≠0),代入橢圓E的方程整理得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0①.

圖1

另將直線AB的方程y=kx+m代入橢圓F的方程整理得2(a2k2+b2)x2+4a2kmx+a2(2m2-b2)=0②.

設關于x的二次方程②根的判別式為△2,則△2=16a4k2m2-8a2(a2k2+b2)(2m2-b2)=8a2b2·(a2k2+b2-2m2).于是，當且僅當a2k2+b2-2m2=0時，直線AB與橢圓F相切.

圖2

綜合(i)、(ii)，定理1得證.

均給予常規護理干預措施，包括檢查前和患者核對病歷資料，詢問患者有無過敏史，有無高血壓，女性是否懷孕等，常規心理護理和健康指導。

由以上定理1的證法2，可得如下結論：

作為本文兩個定理的直接應用，可以用來解答2015年山東省數學競賽的一道試題：

(1)求△AOB面積的最大值；

(2)是否存在橢圓C2,使得對于C2的每一條切線和橢圓C1均相交，設它們交于A、B兩點，且△AOB的面積恰取最大值？若存在，給出該橢圓方程；若不存在，說明理由.