一道THUSSAT測試題的溯源與變式

山東省青島市即墨區第二中學 (266200) 崔為為

1 試題呈現

評注：試題以導數應用為背景設計的數列不等式證明問題，融構造數列不等式、裂項、數列累加求和、對數運算及放縮于一題，體現了知識間的交會運用.其中的兩次“放縮”在證明的過程中起到了關鍵作用.

2 試題溯源

(2017年高考全國卷Ⅲ第21題)已知函數f(x)=x-1-alnx.

分析：上述測試題與該高考題本質上可謂如出一轍. 由此可以看出，在強調命題改革的今天，通過改編、創新等手段來賦予往年高考真題新的生命，演變為新的高考試題，這已成為高考命題的一種常態化命題趨勢.以“題”為鑒，這就啟示我們在高考復習教與學的過程中重視“回歸”，即回歸到對往年高考真題的深層次挖掘和研究，并將這樣的“回歸”貫穿復習備考的始終.

答案：(1)a=1；(2)m的最小值為3.(過程略)

3 變式探究

變式1 (2021屆河南省洛陽市第二次統考21改編)已知函數f(x)=x-lnx．

(1)求f(x)的最小值；

解析：(1)易得f(x)的最小值為1.

(2)由(1)可知，當x∈(1,+∞)時，f(x)>1，即x-lnx>1，所以lnx

(1)若不等式g′(x)-f′(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；

(1)求函數f(x)的極值；

(2)(i)當x>0時，f(x)>0恒成立，求正整數的最大值；

解析：(1)當k≤0時，f(x)無極值；當k>0時，f(x)的極小值為lnk-k+2，無極大值.

(2)(i)k的最大值為3.

4 結束語

在數列不等式的證明過程中往往需要用到 “放縮”法.放縮法靈活多變、技巧性強，如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是放縮法的精髓和關鍵所在.

高考真題具有很強的典型性和思維性，是命題者精心設計的問題，是對考試大綱的具體詮釋，對高考復習具有很強的指導意義和導向性.關注命題者的意圖、解題需要的能力和科學的思維方法，使復習跳出題海，并“打磨利器，有的放矢”，利用對往年高考真題檢驗復習效果，指導復習備考，使復習備考“擇高處立，向闊處行”.