一道橢圓中定比分點問題的求解

北京師范大學臺州附屬高級中學 (318000) 江君香

圓錐曲線中的定比分點問題在歷年的高考中占有一席之地，而且主要是以橢圓為例，基本上都是定比分點在坐標軸或定比分點為中點(即中點弦)的情況，常用的處理方法有韋達定理法、點差法、定比點差法、相關點法、幾何法等，對于定比分點為橢圓內一般的點或者定比分點在橢圓外研究的不多，本文是筆者在教學中自編的一道題目及相關的求解方法.

一、題目分析

接下去如何處理？轉化這個結構式，構造出一個能使用韋達定理的式子？發現轉化有困難，計算量也不小.

那產生這樣計算困難的源頭在哪里，應該是定比分點P位置的一般性，為了簡化計算，我們能否讓P點的位置變得特殊？同時，解析幾何也是幾何，既然從形的角度直觀感知直線應該是經過原點，能否繼續從形的角度進行研究？若在橢圓中從形的角度解決比較困難，能否在與橢圓有密切聯系的幾何圖形中去思考？在這兩個思考的方向下，有了以下兩種解法.

二、解法探討

圖1

分析2：從幾何角度，與橢圓有淵源的幾何圖形是誰？那應該是圓. 橢圓可以由圓伸長或縮短變換得到，所以自然而然的想法是讓橢圓回到圓，有了圓，我們可以依托圓的平面幾何的相關知識進行解決.如何實現橢圓回到圓，仿射變換可以，經過仿射變換，橢圓上的點相應的位置，線段的數量比值是沒有發生改變.那就轉化為圓中相應線段長度之比，從而簡化計算.

圖2

三、題目拓展

當橢圓中的定比分點從橢圓內到橢圓外呢？以上的平移坐標法與仿射變換法是否仍然適用？

分析：同樣可以選擇上面的兩種方法求解，第(2)問看似存在問題，實則仍是求λ的最值問題.解答留給讀者思考.

平移坐標法與仿射變換法從數與形的角度解決了定比分點一般性的問題，看似技巧，實則跳出題目本身，從局外的角度去分析定比分點的位置，是一種化繁為簡，化難為易的方法，也體現了轉化與化歸,數形結合的思想,對于定比分點在坐標軸上，或者定比分點為中點也同樣適用.