素養導向下函數對稱性問題的探析
——以2022年全國Ⅰ卷第12題為例

福建師范大學附屬福清德旺中學 (350319) 陳 芳

2022年高考堅持素養導向、能力為重的命題原則，突出對學科基本概念、基本原理的考查，強調知識間的內在聯系，引導學生形成學科知識系統；注重本原性方法，淡化特殊技巧，強調對通性通法的深入理解和綜合應用.本文以2022年全國Ⅰ卷第12題為例進行闡述.

一 試題與分析

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

試題分析：本題題干簡潔，內涵豐富.要求學生在抽象函數的背景下理解函數的奇偶性、對稱性的符號表達，理解導數概念以及它們之間的本質聯系，對數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養都有較高的要求.學生對函數的對稱性的概念理解不足，對函數與導數對稱性之間的聯系了解不夠，無法真正讀懂題目；導致題目無從下手.

評析：上述前兩種解法都需要理解函數對稱性概念的本質，理解抽象函數對稱性的符號表達，理解函數與導數運算法則及導數的幾何意義，第三種解法通過函數與導函數的奇偶性關系推導對稱性，進而利用特殊值或特殊模型來助力求解.

二 體悟模型

(一)函數的軸對稱模型

關系式對稱軸概念f(x)=f(-x),x∈Rx=0fx()為偶函數f(a+x)=f(a-x),x∈Rx=afx+a()為偶函數f(a+x)=f(b-x),x∈Rx=a+b2fx+a+b2()為偶函數f(a+kx)=f(b-kx),k,x∈R()x=a+b2fx+a+b2()為偶函數

以上結論反過來也成立.

(二)函數的中心對稱模型

關系式對稱中心概念f(x)+f(-x)=0,x∈R(0,0)fx()為奇函數f(a+x)+f(a-x)=2b,x∈R(a,b)fx+a()-b為奇函數f(a+x)+f(b-x)=2c,x∈R(a+b2,c)fx+a+b2()-c為奇函數f(a+kx)+f(b-kx)=2c,k,x∈R()(a+b2,c)fx+a+b2()-c為奇函數

以上結論反過來也成立.

(三)對稱性得出周期性模型

1 若f(x)關于直線x=a與直線x=b軸對稱，則f(x)的周期為T=2|a-b|；

2 若f(x)關于點(a,0)與點(b,0)中心對稱，則f(x)的周期為T=2|a-b|；

3 若f(x)關于直線x=a與點(b，0)對稱，則f(x)的周期為T=4|a-b|.

特別地，常以三角函數y=sinkx,y=coskx做為模型.

(四)函數與導數的對稱性模型

1 已知函數f(x)及其導數f′(x)的定義域為R，記g(x)=f′(x)，若f(x)關于x=a軸對稱，則g(x)關于點(a,0)中心對稱；特別地，若f(x)為偶函數，則g(x)為奇函數；

2 已知函數f(x)及其導數f′(x)的定義域為R，記g(x)=f′(x)，若f(x)關于點(a,0)中心對稱，則g(x)關于x=a軸對稱；特別地，若f(x)為奇函數，則g(x)為偶函數；

3 已知函數f(x)及其導數f′(x)的定義域為R，記g(x)=f′(x)，若g(x)為連續的奇函數，則任意一個原函數都是偶函數；

4 已知函數f(x)及其導數f′(x)的定義域為R，記g(x)=f′(x)，若g(x)為連續的偶函數，則只有一個原函數是奇函數.

三 理解應用

函數的對稱性是函數的重要性質，也是研究函數的重要方法.其作用主要是“知一半而得全部”，若能推導出周期性則可以“窺一斑而得全豹”，利用函數的對稱性解題往往會使問題迎刃而解.

例1 (2021高考Ⅱ卷8)已知函數f(x)的定義域為R，f(x+2)為偶函數，f(2x+1)為奇函數，則( ).

C.f(2)=0 D.f(4)=0

解析：因為f(x+2)為偶函數，則f(x)關于直線x=2對稱；因為f(2x+1)為奇函數，則f(2x+1)+f(-2x+1)=0，即f(x+1)+f(-x+1)=0，所以f(x)關于點(1，0)對稱，所以f(x)的周期為4，結合圖象，所以f(-1)=-f(1)=0，故選B.

設計意圖：通過f(2x+1)為奇函數得出函數的對稱中心，結合f(x+2)為偶函數，推導函數的周期性，深化函數對稱性與周期性之間的關系，體悟數學知識的整體性，考查數學抽象、邏輯推理等核心素養.

例2 (2020年福建泉州高三畢業班線上質檢)已知f(x)是定義在R上的奇函數，f(1+x)=f(1-x).若f(1)=1,則( ).

A.f(x)是周期函數

B.當n為偶數時，f(n)=0

C.f(1)+22f(2)+32f(3)+…+62f(6)=16

D.f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=8n2+8n+1

設計意圖：由函數的對稱性得出函數的周期性，考查抽象函數的應用問題，建立函數對稱性與周期性之間的關系，理解函數性質的整體關系，建構知識體系.

例3 (2021·山東威海高二期末)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(2-x)+f(x)=0，且在x=1處的導數f′(1)=-2，則曲線y=f(x)在點(-7，f(-7))處的切線方程為( ).

A.2x+y+14=0 B.2x-y+14=0

C.x-2y-7=0 D.x+2y+7=0

解析：R上的偶函數f(x)滿足f(2-x)+f(x)=0，則當x=1時，f(1)=0，?x∈R,f(x-2)=f(2-x)=-f(x)，于是得f(x-4)=-f(x-2)=f(x)，即f(x)是周期函數，周期為4，則有f(-7)=f(1)=0，對f(x-8)=f(x)兩邊求導得f′(x-8)·(x-8)′=f′(x)，即f′(x-8)=f′(x)，于是當x=1時，f′(-7)=f′(1)=-2，曲線y=f(x)在點(-7，f(-7))處的切線方程為y-0=-2(x+7)，即2x+y+14=0.故選A.

設計意圖：理解函數對稱性的符號表達，抽象函數對稱性的圖象，理解導數的幾何意義，并結合函數與導數周期性的關系進行解題.考查學生的數學數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養.

設計意圖：利用導數與對稱點的關系求解對稱點，抽象函數圖象，根據圖象的對稱性求值.考查學生的數學數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.

四 教學反思

每一道高考試題都是命題者的智慧結晶，都體現了命題者對課標的解讀、對教學的理解.對高考試題的思考有利于引導教學方向，改變教學方式，落實素養培養.

1.基于數學語言，培養數學抽象素養

2.基于概念原理，培養邏輯推理素養

2022年全國Ⅰ卷第12題基于函數對稱性的概念，通過代數運算或者圖象變化規律研究，發現函數f(x),g(x)的對稱關系和周期性進而求解.概念是通過數學方式對現實世界萬物本質的歸納概括，概念是數學思維的體現.數學的思維主要表現為邏輯推理的理性思維方式，概念原理理解得越透徹，邏輯推理的基礎就越牢固.數學的發展依賴邏輯推理，教學中要注重引導學生以數學的方式進行思考，引導學生通過對概念的學習進而理解數學的本質，感悟數學的思想，形成和發展邏輯推理素養.

3.基于知識建構，培養數學建模素養

五 結語

史寧中教授在《〈普通高中數學課程標準〉解讀》中表明，數學的眼光主要表現是數學抽象，數學的思維主要表現是邏輯推理，數學的語言是數學模型；而這三者恰好體現了數學的一般性、嚴謹性和應用的廣泛性.張恭慶在《數學的意義》中：數學的基本特征，一是高度的抽象性和嚴密的邏輯性，二是應用的廣泛性與描述的精確性，三是研究對象的多樣性和內部的統一性.2022年高考Ⅰ卷12題從數學抽象、邏輯推理、數學建模等方向對學生進行了考查，加強教考銜接，發揮高考命題對教學的引導作用，加強對基本概念的理解，強調知識間的練習，回歸知識本原，落實核心素養.