抓住兩個視角，剖析解幾最值*

江蘇省常熟市梅李高級中學(xué) (215511) 張玲玲

最值問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是高考考查的熱點(diǎn)，而解析幾何中的最值問題，往往既有代數(shù)屬性、又有幾何屬性，此類問題綜合性強(qiáng)、能力要求高、解法靈活多變，但概括起來主要有兩大類方法，一是幾何法，即借助圓錐曲線的定義、性質(zhì)，以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)法，即構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.本文結(jié)合實(shí)例,談?wù)勂淝蠼馑悸泛头椒?

例1 已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y-2=0上，求x2+y2的最小值.

分析：從代數(shù)角度考慮，可以構(gòu)建函數(shù)處理；從幾何角度考慮，可以聯(lián)想到距離或圓的半徑.

例2 求拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值.

分析：從代數(shù)角度考慮，可以構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)處理；從幾何角度考慮，可以平移直線，研究相切狀態(tài).

例3 如圖1，線段AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2，點(diǎn)P為線段CB上一動點(diǎn)，點(diǎn)A繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合與點(diǎn)D，設(shè)CP=x，求S△CPD的最大值．

圖1

分析：在△CPD中，CD=2，CP=x，DP=6-x，從代數(shù)角度考慮，可以構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)處理；從幾何角度考慮，可以考慮動點(diǎn)軌跡.

圖2

點(diǎn)評：解法1是構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)來處理，求解過程中要注意△CPD的三個角中，∠DCP的余弦表達(dá)式的結(jié)構(gòu)最簡潔，而解法2是從軌跡的角度來考慮，充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想，即用坐標(biāo)法來研究幾何問題(動點(diǎn)軌跡).

分析：從代數(shù)角度考慮，可以構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)處理；從幾何角度考慮，可以壓縮為圓來處理.

點(diǎn)評：解法1是構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)來處理，對學(xué)生的運(yùn)算要求較高，解法2是將橢圓問題轉(zhuǎn)化為圓的問題來處理，利用圓的幾何性質(zhì)，問題得到了簡化.解法2充分彰顯了橢圓和圓之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示了問題的幾何本質(zhì)和命題背景.