利用對(duì)數(shù)均值不等式巧解一道高考?jí)狠S題

廣東省深圳市深圳中學(xué) (518001) 黃文輝

函數(shù)的雙變量問(wèn)題是近年高考試卷中熱門(mén)試題之一，這類(lèi)試題不僅形式多樣，而且聯(lián)系到的知識(shí)比較廣，構(gòu)造思維要求比較高，因此這類(lèi)問(wèn)題的解決方法也是多樣的.本文著重談?wù)勅绾卫脤?duì)數(shù)均值來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題的解題思路.

一、試題呈現(xiàn)

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

(2)證明：若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，則x1x2<1.

二、知識(shí)準(zhǔn)備

1、兩個(gè)正數(shù)a和b的對(duì)數(shù)平均定義為：

三、解法探究

∴e+1-a≥0，所以a的取值范圍為(-∞,e+1].

四、變式訓(xùn)練

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

例2 (2016年全國(guó)Ⅰ理)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明x1+x2<2.

評(píng)注：假設(shè)x1+x2≥2利用a(x1-x2)(x1+x2-2)≥0是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在，將指數(shù)不等式(x1-2)ex1≥(x2-2)ex2轉(zhuǎn)化為(2-x1)ex1≤(2-x2)ex2是神來(lái)之筆，再兩邊取對(duì)數(shù)，構(gòu)造出了ln(2-x1)-ln(2-x2)的效果，為利用對(duì)數(shù)平均值不等式創(chuàng)造了條件.