基于數學核心素養培養的解析幾何復習備考策略

?江蘇省灌云高級中學

林利芹

1 引言

最近幾年，高考數學試卷中一直將解析幾何題放在“壓軸”位置，題目占據的分值非常大，且具備較強綜合性，時常讓學生感覺到解題思路受阻.究其原因可知，學生沒有掌握解析幾何題的實質，不了解題目考點，自然也就無法運用正確的解題技巧，最終浪費大量時間，并且出現丟分的情況.在高考復習備考階段，教師可以從數學核心素養培養的角度，幫助學生提升解決解析幾何題的能力，促使學生抓住解題關鍵點，通過自身的抽象思維和推理思維，解析出最終的結果.

2 認清解析幾何題目的數學本質

2017年我國修訂了《普通高中數學課程標準》(下文簡稱“新課標”).新課標中明確提到數學學習過程中需要重視其數量關系以及空間形式的相關內容，數學在現實世界中呈現出抽象性，其內容本身就具備抽象結構，不管是模型構建還是符號運算，均能夠呈現出現實世界的本質內容，探尋不同事物之間的關系和規律.而高中數學課程教學，需要遵從學生的主體性，注重學生的未來發展，將立德樹人作為高中數學的根本教學任務，不僅要讓學生掌握數學解題方法，也要培養學生創新思維，促使學生數學核心素養顯著提升.事實上，數學核心素養包含了數學運算、數據分析、邏輯推理、直觀想象、數學抽象以及數學建模等能力，各項能力之間呈現出相互交融但又相互獨立的狀態，在組成有機整體以后，學生必然能夠認清數學題目的本質，并從容應對要解決的問題.

目前高中教材中數學知識板塊的劃分主要有14個，各個知識板塊有效組合在一起，從而形成完善的數學教學體系.解析幾何知識是高中數學重要的內容，其連接了代數板塊的知識，將代數與幾何有效整合在一起，形成數形結合的教學內容.解析幾何的相關題目不僅能夠利用函數的知識解答，也能夠利用方程進行標注，通過對曲線知識的理解，構建對應的方程式，在經過方程式消元之后，整理成一元二次方程，最終利用判別式以及韋達定理等知識，獲得答案.此時，如果是采取函數思維，則需要建立對應目標函數，并理解各個函數之間的關聯，通過對極值、最值等因素求解，最終達到合理求解的目的.

3 基于核心素養培養的解題能力訓練策略

3.1 核心素養培養中解題能力的獲取

數學核心素養的培養最注重數學抽象素養的培養，因此，在復習備考訓練中，也需要重視對學生抽象能力的培養.新課標中表示，數學教學過程中，抽象思維的培養主要是對學生進行數量關系的抽象鍛煉和空間形式的抽象鍛煉，學生需要理解各個數量所具備的聯系，并且尋找圖形構建的主要規律，探究數字和圖形之間形成的邏輯關系，挖掘題目背后的本質規律，以數學語言表達出來，從而形成數學的基本思想.而數學抽象思維也將成為學生學習和應用數學知識解決解析幾何問題的關鍵，能夠讓學生在面對解析幾何題目的時候，透過題目當中對數量關系的描述構建幾何圖形，并且不斷轉換數形關系，利用數形結合思想形成明確的解題思路，最終透過數學符號語言，解答出解析幾何的正確答案.

除了抽象思維能力，數學核心素養的培養，也需要重視邏輯推理能力的培養，該能力是學生掌握解析幾何題目數學本質的精髓.新課標中已經明確指出，邏輯推理能力是指從命題本身出發，遵從命題當中的規則，推理出其他的命題.數學邏輯推理包含兩個類別：一類是從特殊規律推理出一般規律，其主要是通過歸納和類比的方式來完成推理；另一類則是從一般規律推理出特殊規律，主要是通過演繹和邏輯推理的方式來獲取最終的數學結論.邏輯推理是數學的精髓，也是人們掌握數學知識和參與數學活動的基本品質.

3.2 核心素養培養中解題能力的訓練

(2017年理科數學全國卷Ⅲ第20題)已知拋物線C：y2=2x，過點(2，0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.

(1)證明：坐標原點O在圓M上；

(2)設圓M過點P(4，-2)，求直線l與圓M的方程.

(1)證明：直線AB過定點；

除了解題模式的訓練，教師也需要幫助學生培養數學運算能力.一方面，教師在課堂上可以將更多的時間留給學生，促使學生自己參與到解析幾何的運算當中.部分學生雖然運算能力并不好，但卻能夠將運算障礙暴露出來，只有親身感受運算的艱難，才能夠更好地了解自身不足.另一方面，教師可以為學生選擇難度較高或者是綜合性更強的運算題來訓練，促使學生不斷加大運算量，逐步提升運算能力.例如，2019年全國高中數學聯賽A卷的第10題是一道運算量較大的解析幾何題：平面直角坐標系xOy中，圓Ω與拋物線Γ：y2=4x恰有一個個公共點，且圓Ω和x軸相切于拋物線Γ的焦點F，求圓Ω的半徑.學生根據教師所引導的解題思路，主要采用曲線系方程，逐漸化解題中的難點，充分凸顯出學生所具備的創新能力.解題方法如下：

①

除了上述訓練，教師還需要訓練學生規范運用數學符號語言，在數學符號書寫過程中需要注重細節.解析幾何作為壓軸大題，數學符號語言的表達直接關系到其是否能夠利用方程或者不等式來完成邏輯推理，充分體現出學生在數學解題方面的思維嚴謹性.例如，建議學生不要在解解題過程中使用一些并不太常規的結論.在2018年高考數學全國卷中，一些學生直接使用了中點弦的有關結論，而在2019年的全國理科數學卷中，又有學生直接利用了拋物線y2=2px的中點弦相關結論.如果在選擇題等方面使用不會暴露弊端，但如果運用到解析幾何大題中，必然會對分數產生影響.

4 結束語

不管是采用函數還是方程方式求解解析幾何的問題，都需要探究圓錐曲線與直線的位置關系，需要學生具備更加清晰的數學邏輯思維，并提升數學運算能力，在面對抽象數學問題時具備一定解題思路.總體來說，高考之前加強對解析幾何知識的理解，能夠促使學生更明確高考需要考查的知識點，促使學生掌握對應的數學能力，使其能夠在高考期間有效攻克數學難點.