高等數(shù)學教學中的課程思政元素探析

侯茂文

（銅陵學院，安徽 銅陵 244061）

國無德不興，人無德不立。習近平總書記高度重視培養(yǎng)社會主義建設者和接班人，在多個場合一再強調，教育工作者必須把立德樹人作為教育的根本任務和中心環(huán)節(jié)[1]。高等數(shù)學課程作為高校大一新生的一門公共基礎課，具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性，但也存在和高中數(shù)學脫節(jié)、枯燥乏味等難題。因此，高等數(shù)學的課程教學需要變得更加有趣生動、寓教于樂，并且把品德教育滲透到課程數(shù)學中，讓思想政治教育與課程固有的知識、技能傳授有機融合，遵循教書育人規(guī)律和學生成長規(guī)律，更好地促進學生的自由全面發(fā)展，實現(xiàn)立德樹人的目標。

一、高等數(shù)學教學中的愛國主義教育

對大一新生開展高等數(shù)學課程教學伊始，我們一般會進行數(shù)學史方面的概述，這其中就可以圍繞中國古代和近現(xiàn)代偉大的數(shù)學領域探索和成就進行愛國主義教育。從戰(zhàn)國西漢時期的籌算、十進制和勾股定理；到魏晉南北朝劉徽的《九章算術注》（公元263年）和祖沖之（429-500）的數(shù)學成就；再到宋元時期高深數(shù)學和珠算盤，公元前3-4世紀至14世紀初，中國是當之無愧的世界數(shù)學強國。魏晉時期的數(shù)學家劉徽，是中國史上的用邏輯推理的方式來論證數(shù)學命題的人，被稱作“中國數(shù)學史上的牛頓”。他的代表作《九章算術注》和《海島算經(jīng)》是中國重要的經(jīng)典數(shù)學著作。劉徽第一次提出了“極限思想”，并創(chuàng)造性地運用割圓術，得到π=3.1416，被稱為“徽率”。此后，南北朝祖沖之（429-500）年進一步把圓周率精確到小數(shù)點后第七位，這個紀錄直到15世紀的阿拉伯數(shù)學家阿爾·卡西才打破。宋元時期的賈憲創(chuàng)造了“賈憲三角”和“增乘開方法”，前者比歐洲阿皮納斯的系數(shù)表要早400年，后者直到770年后才由歐洲數(shù)學家霍納研究出來。秦九韶（約1202-1261）于1247年寫成著名的《數(shù)書九章》，提出了“大衍求一術”和“正負開方術”，前者即數(shù)學上常說的“一次同余式解法”，后者則為“高次方程的求正根法”。二者在當時都領先于世界。元朝著名數(shù)學家朱世杰代表著作《四元玉鑒》和《算學啟蒙》把高次方程組解法和高階等差級數(shù)等問題的論述詳密精到，美國著名的科學史家薩頓評論說：“朱世杰是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學家”，《四元玉鑒》是“中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是整個中世紀最杰出的數(shù)學著作之一”[2]。但是隨著明清時期推行八股取士的科舉制度，在科舉考試中大幅削減自然科學的相關內(nèi)容，自此中國古代數(shù)學便開始衰退，中國在數(shù)學領域的研究逐漸失去了大國地位。我們也能發(fā)現(xiàn)，雖然近現(xiàn)代我們國家也涌現(xiàn)出華羅庚、徐光啟、陳省身、陳景潤、蘇步青等偉大的數(shù)學家，他們也取得了舉世矚目的數(shù)學成就，但是目前的高等數(shù)學教材中很少能夠看到以中國人命名的定理和公式。因此，我們的學生在為我們國家取得偉大數(shù)學成就而自豪的同時，要有深刻的憂患意識和強烈的民族責任感，要通過自身不懈的努力，讓我們國家繼續(xù)屹立于世界數(shù)學之林。

二、高等數(shù)學教學中的誠實守信教育

當下大學生隨著年齡的增長及接觸社會的機會增多，有一部分受到社會不良因素的影響，誠信匱乏，出現(xiàn)諸如惡意貸款、冒充貧困生、表里不一、考試作弊、借錢不還、求職履歷作假、涂改成績、甚至制造假證件和假榮譽證書等不誠信行為。針對這種現(xiàn)象，我們可以結合高等數(shù)學教學中的貝葉斯公式進行示例教學：

Thomas Bayes（托馬斯·貝葉斯）對概率論和數(shù)理統(tǒng)計早期發(fā)展有重大影響，作為概率論中的一個定理貝葉斯定理，可以用公式表示出來就是貝葉斯公式。

貝葉斯公式 設隨機試驗的樣本空間為Ω，A1，A2，……,An，為一完備事件組，且P(Ai)＞0(i=1,2,…n)，B為任一事件，若P（B）>0，則有：

在這個公式中，我們通常稱P（A1），P（A2），…，P（An）為先驗概率，稱P（A1/B）,P（A2/B）,…,（An/B）為后驗概率，貝葉斯公式就是從先驗概率推算后驗概率的公式，又稱逆概公式。

教學示例1—烽火戲諸侯

烽火戲諸侯，出自司馬遷《史記：周本紀》：“褒姒不好笑，幽王欲其笑萬方，故不笑。幽王為烽燧大鼓，有寇至則舉烽火。諸侯悉至，至而無寇，褒姒乃大笑。”在西周末年，烽火本是敵寇犬戎侵犯時候緊急軍事報警信號，由國都到邊境各寨都設有烽火臺，每隔一段距離就有一個烽火臺，一旦敵寇犬戎進攻，第一個發(fā)現(xiàn)的哨兵立刻在烽火臺上點燃烽火，臨近的烽火臺看見了，也相繼點燃烽火，向附近的諸侯報警，而諸侯看見了烽火就知道京城受到敵寇犬戎的進攻，天子有難，必須起兵趕來救駕。昏庸的周幽王為博美人褒姒的笑容，在沒有敵寇進攻的情況下，第一次點燃烽火，各諸侯看到烽火，紛紛帶兵到京城城下，結果一個敵人沒有，只看到周幽王和褒姒在城樓上飲酒作樂，褒姒見千軍萬馬召之即來，揮之即去，如同兒戲一般，覺得十分好玩，禁不住嫣然一笑。周幽王為此數(shù)次戲弄諸侯們，諸侯們漸漸地再也不來了。公元前771年犬戎進攻鎬京，周幽王驚慌失措，急忙命令烽火臺點燃烽火，可是諸侯們都不再理會，西周滅亡。下面用貝葉斯公式來分析在周幽王三次點燃烽火的情況下，他的信用度下降的程度。我們不妨假設如下：

諸侯對周幽王的初始信任度為0.8，可信時周幽王被認為說謊的概率為0.1，不可信時周幽王被認為說謊的概率為0.5。設A表示周幽王可信，A軍表示周幽王不可信，B表示周幽王被認為說謊。當諸侯第一次看到烽火點燃時，有

由貝葉斯公式，得到：

當諸侯第二次看到烽火點燃時，有

再次由貝葉斯公式，得到

當諸侯第三次看到烽火點燃時時，有

第三次使用貝葉斯公式，得到

當諸侯第一次看到烽火點燃時，長途奔襲到京城時發(fā)現(xiàn)被騙后，對周幽王的信任度由0.8下降到0.444。當諸侯第二次看到烽火點燃時，跑到京城發(fā)現(xiàn)又被騙后，對周幽王的信任度由0.4下降到0.138。當諸侯第三次看到烽火點燃時對周幽王的信任度由0.138下降到0.031。由于諸侯對周幽王完全失去了信任，最終再也沒有一個人在敵寇犬戎進攻時帶兵來京城救他，導致國家滅亡。

通過上面這個教學示例教育學生要具有誠信品質，當代大學生應該在學習和生活中注重個人信用評價的點點滴滴，注重個人修養(yǎng)，為自己建立一份良好的個人信用檔案，這樣才能讓自己在這個信用社會立于不敗之地。缺乏誠信、背信違約的行為最終導致的結果就和周幽王一樣。

三、高等數(shù)學教學中的質量意識教育

產(chǎn)品的質量關乎企業(yè)生存和發(fā)展，質量是堅定不移走強國路、加快實現(xiàn)中國夢的一個戰(zhàn)略舉措。貝葉斯公式在產(chǎn)品的質量檢控中也有著重要作用，可以通過數(shù)據(jù)的研判來提高生產(chǎn)質量。

教學示例2—產(chǎn)品質檢

已知某批產(chǎn)品100件中有次品4件，從100件中任取3件進行質檢，若發(fā)現(xiàn)次品則認為整批產(chǎn)品不合格，考慮到質檢存在誤差，正品被誤檢為次品的概率為5%，次品被誤驗為正品的概率為1%，求：

（1）這批產(chǎn)品質檢結果為合格的概率；

（2）質檢結果若為合格，但實際上所取的3件產(chǎn)品中恰有1件次品的概率是多少？

分析：本體的試驗可看成兩個試驗所成之試驗序列。第一個試驗E1是從100件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，第二個試驗E2是對3件產(chǎn)品進行檢驗。該批產(chǎn)品合格即“未發(fā)現(xiàn)次品”是E2的一個可能結果，導致這個結果的“原因”是E1的結果：任取的3件中恰有i件次品（i=1，2，3），最終都被檢驗成了正品。因此，問題（1）和（2）分別利用全概率公式和貝葉斯公式。

解答問題：設事件B表示“未發(fā)現(xiàn)次品”，事件Ai表示 “任取的3件中有i件次品”（i=0，1，2，3），A0，A1，A2，A3構成一完備事件組，則

P(B/Ai）是3件中有i件次品時，檢驗的結果卻沒發(fā)現(xiàn)次品的概率，即檢驗時將i件次品誤判為正品，將3-i件正品判為正品，設產(chǎn)品的檢驗是獨立進行的，于是有

（1）由全概率公式得

(2）由貝葉斯公式得

通過該教學示例提醒學生在未來工作要有充分的質量意識，因為影響產(chǎn)品質量的重要因素就是員工的質量意識，每個人都應該充分認識到質量管理的重要性。

四、高等數(shù)學教學中的國防教育

習近平總書記提出的關于人民軍隊發(fā)展的強軍目標,鑄造一支聽黨指揮、能打勝仗、作風優(yōu)良的軍隊隊伍,有利于實現(xiàn)中華民族的偉大復興，有助于實現(xiàn)中國夢。高等數(shù)學教學中面對的大學新生，一般都會參加新生軍訓并進行打靶訓練，結合打靶案例對新生開展國防教育是非常有必要且可行的。

教學示例3—打靶

現(xiàn)在有九支槍，經(jīng)試射校正過的有三支，用試射過的槍打靶，命中率為0.8，而未試射過的命中率為0.1，任取一支槍進行射擊，結果命中了，判斷該槍是否試射過。

解：設事件A為“該槍試射過”，事件A軍為“該槍沒有試射過”，事件B為“打靶命中”，則A軍，A構成一個完備事件組，有：

由貝葉斯公式得

通過計算結果可以看出，試射過的概率是0.8，而沒有試射過的概率為0.2，其中最大的就是引起事件B發(fā)生的最大可能原因，所以判斷該槍是試射過的。

通過該教學示例，在數(shù)學教學中加強國防知識教育，讓具有良好知識文化基礎的大學生樹立國防意識，鼓勵優(yōu)秀的青年學子積極響應國家的征兵任務和國防生計劃，保家衛(wèi)國，為國家的長治久安做出無私奉獻。

五、高等數(shù)學教學中的抗疫精神教育

2020年，一場突如其來的新冠肺炎疫情蔓延了全國，這三年來涌現(xiàn)了很多可歌可泣的英雄事跡，但更多的是醫(yī)護人員、大白、志愿者、社區(qū)工作者這些普通工作人員點點滴滴的默默奉獻，他們的工作精神滋潤著我們所有的平凡人。在對學生們進行抗疫精神教育的時候，我們可以從疫情防控期間斯公式的計算看出志愿者們盡職盡責。

教學示例4—疫情防控期間寵物存活率

小張因為疫情發(fā)展成為密切接觸者，需要隔離14天，家中有一只寵物狗需要喂養(yǎng)，于是在隔離前拜托志愿者照看。如果幾天內(nèi)志愿者記得喂食，小狗的存活率為0，77，如果幾天內(nèi)志愿者忘記喂食，小狗的存活率為0.19，假設志愿者記得喂食小狗的概率是0.8，忘記喂食的概率是0.2.

求：（1）小張隔離后小狗的存活概率是多大？

（2）若小張結束隔離后回家，發(fā)現(xiàn)小狗還活著，那么“記得喂食”的概率多大？

解：不妨假設事件A=“志愿者記得喂食小狗”

B=“小狗存活”

由題意可得

（1）小狗的存活概率利用全概率公式計算得

(2）利用貝葉斯公式得

所以小張結束隔離回家，發(fā)現(xiàn)小狗還活著，志愿者記得喂食的概率為0.942。

當代大學生作為新時代的驕子，應該以抗疫人物的先進事跡激勵自己，以習近平總書記對當代大學生提出的“志存高遠，德才并重，情理兼修，勇于開拓”的十六字訣要求自己，爭做時代先行者。高校教師更應該將偉大的抗疫精神在日常教學中的融入進去，通過數(shù)據(jù)分析與以德樹人緊密結合，為學生成為優(yōu)秀的社會主義接班人打下良好的基礎。

六、結語

高等數(shù)學覆蓋面廣，教學時間長，是幾乎所有專業(yè)大學新生的必修課之一，是學好各類專業(yè)課的重要基礎，在高等數(shù)學教學過程中巧妙地不留痕跡地融入德育元素，達到潤物細無聲的教學效果，讓德育貫穿教育的始終，是高校全面推進課程思政建設的關鍵。作為高校數(shù)學教師我們不僅要教給學生科學文化知識，更要為國家培養(yǎng)有信念、有夢想、有作為的學生，達到既教書又育人的教學效果。