高等數學課程思政教學設計
——以第二重要極限為例

木 強

（信陽學院 河南信陽 464000）

高校理工類專業中，高等數學屬于一門公共基礎課程，因其具備的相關邏輯性及特殊性，在課程思政教學的建設上，存在著一定的難度。但據教育部于2020 年5 月所頒發的《高等學校課程思政建設指導綱要》，其中涉及對工學類和理學類專業課程進行課程思政教學的指導和分析，因此在課程思政的建設上，高等數學也具備了一定的方法與優勢。而從學科性質特點來看，高等數學屬于是一門思維方式嚴謹、邏輯推理嚴密和知識性比較強的基礎學科，其中所包含的相關結論，都是經過嚴格的計算、邏輯推理、證明才能得到。對學生來說，高等數學能夠培養其自尊、自愛、自信，以及誠實獨立的優良人格，還能有效培養學生實事求是、一絲不茍及堅持真理的科學精神。與此同時，通過借助高等數學相關題型來引導學生進行解題，可通過不斷解析、探求正確答案的形式與練習過程，磨煉學生頑強、堅毅的心理素質，從而促進學生形成頑強拼搏、敢于挑戰與積極向上的優秀品質。本文以高等數學的第二個重要極限為例，設計相應的課程思政教學方法，提出課程思政融入新知導入、新知講授和課堂練習等的知識內容教學環節，從而對高等數學在課程思政實踐教學過程進行分析，進而體現出在課程思政建設上，高等數學所具有的相關方法與優勢。

一、創設教學情境并引入新課

（一）展示情境引出問題

小張急需用錢，因此向小王借了10000 元，并承諾按10%給予小王年利率。在小王猶豫時，腦海想起之前聽說過的復利問題：在一定的情況下，年利率一年內的計息次數越多，所獲得的本息和也就會越多。[1]因此，小王開始盤算每天、每月和每季度，以及每半年等利息，也就是計息次數逐漸增多，一年后，所得到的本息不就無限多了嗎？由此提出問題：小王的發財夢能實現嗎？此時，引入相應的復利模型，其中，本息和為s，p 表示本金，t 表示計息次數，年利率為r。并讓學生就該問題進行討論。此時，為計算更方便，將年利率擴大為100%，將問題進行轉化，所得復利結果如表1 所示。

表1 復利統計計算表

（二）解決問題并引出新知

通過融入相應的數學事件，對相關問題進行實驗探究，運用高等數學知識解決問題，從而引出新知識內容。取不同的n 值來讓學生通過計算統計（見表2）對函數第二重要極限值的變化進行觀察，提取所得部分值數據。[2]

表2 函數f(n)值的變化情況表

學生能夠通過對函數f（n）值的統計分析發現，函數值會隨著數值和n 值的增加而增加，但是，當n 大于10000 之后，函數值的增加情況并不是很明顯，且增加值保持在2.718附近緩慢進行。在完成分析后，可讓學生借助Excel 來進一步提取、統計更多的值，并通過生成相應的圖表形式做進一步的觀察，可直觀發現并得出數值處于2—3 之間。[3]

對于高等函數數列，早期數學家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）在對其進行研究時，就得出了n→∞的結果，且函數極限也是在2—3 之間，后來。同是來自瑞士的數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）也對數列進行了研究，他在研究中發現，當n→∞、n→-∞的時候，函數所得值，也均趨向于同一常數，因此，對于這一所得極限值，萊昂哈德·歐拉是用e 來表示，且也由此證明了e=2.7182818……是一個無理數，由此可得，小王的發財夢是無法實現的了。[4]教師通過以上結果進行總結，總結得出冪指函數即為函數，而且其極限即為第二重要極限。

于教學課堂上通過創設相應的利息分析計算的教學情境，以提出問題為導向，調動并充分激發學生研究、探索相關知識帶給你的積極性和興趣，并以此逐步構建、引出冪指函數，也通過此教學情境的創設，為高數課程思政教育奠定后續開展基礎。通過Excel 的有效運用，對數值做進一步實驗驗證，并借此引導學生進行自主分析、探究和解決問題。[5]而在此過程中引進相應的數學歷史，一方面，能夠讓學生對發現極限的數學家及極限發現過程有一定的了解，并從中體悟到，任何數學結論都是通過無數次實驗、計算等得出的，并不是憑空或是隨意產生的，需通過大家的共同探索和不懈努力，經過不斷嚴密實驗、分析、論證；另一方面，為問題的有效解決提供有力支撐，同時，以此引出新知，即高等數學課程中的第二重要極限公式。[6]

（三）思政教育課拓展

利用小王的發財夢無法實現的這一結論對學生進行思政教育，教育學生面對金錢時，要保持理智，確保有足夠清醒的頭腦，高度警惕網貸、校園貸等，提高學生警覺性，防范落入信貸詐騙中去，并樹立積極、正確的消費觀與價值觀。

二、講授新知并加以證明

（一）證明

通過前期情境創設及問題解決所得結論，以及引導出的第二重要極限新知，對第二重要極限公式進行證明。[7]

（二）引導學生對第二重要極限公式進行探討

將班級學生分為多個學習小組，并以小組為單位，讓學生小組對第二重要極限公式及其所具有的特點進行討論和探索，并對公式的一般形式進行分析構建。

在對第二重要極限公式進行考察時，不是簡單考察公式自身，考察的是利用第二重要極限公式，去求出更復雜的、同類型的函數極限。所以需對第二重要極限公式所特有的特征進行深入探索，以便能夠更好地應用。[8]

（三）教師進一步講解

利用計算機、數學軟件的演算功能將所得數據進行陳列，通過多媒體動畫演示方式作出圖像，引導學生思考與觀察，從中發現結論：

1.年利率相同的條件下，本利和隨增加的計息期數n 不斷變大，可得（1+1/n）n是為單調遞增數列；

2.本利和的增長隨計息期數n 的增加而進行緩慢增長，可發展趨勢預估得出，（1+1/n）n數列有上界。

以上述表格分析為基礎，教師通過鼓勵和引導學生進行大膽猜想，通過數列單調有界的準則對（1+1/n）n存在的極限進行證明。而后通過詳細及嚴格的推導與證明，得出該數列存在極限的結果，且極限值就是e=2.71828……，最后得出第二重要極限的原型。

（四）公式應用

進一步應用并講解第二重要極限公式的具體應用形式。比如，設置計算例題，根據例題算出哪一道例題的函數極限值等于e，并通過例題計算可得出等于e 的函數極限值。

對極限公式的特征進行分析，主要是為學生能夠正確應用公式做相應的鋪墊，同時也能借此機會對學生進行哲學思政教育，尤其是辯證唯物主義方面的教育。而通過講解相應的例子，首先，可讓學生充分理解和掌握到第二重要極限公式是如何運用的。其次，對應用公式的關鍵點做歸納，即：①判斷類型是為1∞型極限；②做變形為（1+無窮小）無窮大形式，并且確保無窮大、無窮小是呈倒數。最后，讓學生充分掌握和應用變形的思路和技巧。

（五）拓展思政教育

通過以上新知的講解和求證，讓學生在了解及認識新事物時，能透過本質現象去抓住事物內在規律與內涵，而不是光看外表，被外表迷惑而忽略了最基本、最本質的東西，而只有充分發現本質，才能從根本上解決問題。然而，規律與本質的發現，是一個比較困難的過程，因此作為教師，我們應積極引導學生去主動發揮個人特長，以及主觀能動性，積極探索、勇于向前，不怕困難，并不斷去驗證。[9]

三、開展新知課堂練習活動

（一）課堂練習

提供給學生相關知識內容的練習題，讓學生通過對練習題的計算求出題目極限，以此進一步鞏固所學知識點及相關內容，包括解題思路、公式的應用等，并通過課堂練習完成和提交。

（二）教師批改并講解學生習題

1.習題分析

教師在學生做完習題并提交后，對學生所做習題進行分析。首先，在做題時，要先判斷習題屬于哪一種類型，在這三道練習題中，三道題都屬于是1∞型極限，而求這三個的極限，關鍵在于變形方面。

2.習題講解

利用以上設置的三道練習題，按順序分別講解相應的解題過程和思路，一邊板書展示，一邊講解相關解題思路和步驟，進一步加深學生的新知理解度。

通過課堂練習題練習的放回，讓學生實踐練習，幫助學生更好掌握本節課的重點內容部分，并以此促進學生熟悉運用第二重要極限公式來求出函數極限的重點和關鍵，及做變形和判類型；而練習題中第二題相應地加深難度，可進一步幫助學生提高應用知識的能力。[10]

3.拓展思政教育

在讓學生做課堂練習題時，會存在一些學生做題未寫解題過程，直接答出題目答案；而有些學生在做第二題時，不愿意去多加分析和思考，直接跳過做第三題。這時，需借助此情況對學生進行思政教育，教育學生要明白，數學是一門比較嚴謹，且極具理性思維的學科，因此在做題時，要仔細、認真，且還需要有理有據，對于不會做的題目，首先想到的不是直接放棄，而是應多加思考、多嘗試，還可多與同學進行交流探討。在日常生活過程中，大家在做任何事時，都應認真去對待，在遇到困難時，要勇于接受和面對，不會就多問、多思，多和別人交流，通過多種方式和求解渠道去整合解決問題的辦法，在解決問題的同時，幫助自己更好成長。

四、高數第二重要極限公式的應用拓展

（一）學生討論

讓學生以小組形式進行討論，討論為何洗衣機的類型不同，脫水次數（包括漂洗、洗滌兩階段）都是需要3 次進行呢？可通過假設不同洗衣機洗衣用水總量為1，每次對洗衣機放入同量的水，均為1/n，且每次的洗滌所產出的污物均能充分溶入水中，而且每次洗滌的脫水效果都是相同的，w 為所殘留的水量。

（二）引導學生解決問題

在學生們完成討論后，教師及時聽取學生小組的討論結果，并就此引導學生對問題進行分析，并建立相應的問題解決模式，即分析問題—建立模型—解決問題；與此同時，引導學生在解決問題的過程中，學習數學建模的方法與思想；此外，也讓學生充分體會到生活和數學知識的相關性，以及學習數學的必要性和重要性，以此促進學生不斷提高學習數學的熱情和興趣。

（三）思政教育

通過對這一生活實際問題的解決，希望學生能體會到學習知識的重要性，且只有知識學得扎實了，才能更好地用其解決實際問題。每位同學都應當珍惜當下的學習機會，在校努力學習，將基礎打牢固，進入社會方能用所學知識服務社會。

五、課堂小結與課外作業布置

（一）課堂總結

總結、掌握高等數學課程中第二重要極限公式的特征，對第二重要極限公式的關鍵點進行總結。

（二）課后布置作業

讓學生結合本節課所學知識內容，于課后閑余時間查找出更多第二個重要極限的應用；通過數學知識點，或者是數學公式，對融入辯證唯物主義哲學的思政教育方式進行深入剖析等。

結語

將課程思政融入高等數學教學設計中，不僅要讓學生學到數學知識內容，還要積極鼓勵學生在學習數學學科知識的過程中，不斷學習數學家們勇于追求卓越和探索創新的精神。與此同時，高數教材中還含有很多與國家發展息息相關的思政素材，如可利用高鐵建設、港珠澳大橋來引出導數的學習和函數曲線凹凸性等，讓學生深入學習與了解學科知識及國家建設成就，進而激發學生民族自豪感，激勵學生努力學習，為祖國繁榮富強提供力量支撐。