高等數學教學實踐中的幾點思考與探討*

楊懷君 孟金濤 周永衛

（鄭州航空工業管理學院 河南鄭州 450046）

數學是人類在生產生活實踐中，不斷探索總結的經驗和揭示的規律，是人類幾千年來智慧積累的結晶。隨著社會和科技的發展，數學思想已滲透到我們生活中的各個領域。讓學生學習數學的意義在于，就是發現數學來源于生活，并存在于我們的生活中，不僅能夠，把數學同生活融為一體，而且能在生活中更好地運用數學知識，解決相關的問題。高等數學不僅是大一新生進入大學校門后接觸到的第一門通識必修課，而且在許多學科中都有廣泛應用，對培養學生的各種能力（如邏輯推理能力、計算能力、空間思維能力、抽象思維能力），以及數學素養等方面有著其他課程無可替代的作用和優勢[1-2]。

高等數學這門課程具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性的特點，這些特點和中學階段所學的初等數學課程有很大的不同，從而學生在學習方法和學習方式上都要做出轉變，以達不到高等數學教學大綱中對學生的邏輯思維和創新意識和能力的培養的要求。若不做出相應的改變，高等數學是這門課，課時長、知識點細且多，其教學質量直接影響學生后續對于相關的課程的學習。

一、高等數學教學實踐中存在的若干問題

在教學實踐中，我們發現，學生們普遍反饋高等數學這門課較難，從而產生排斥心理和畏難心理。特別是高等數學下學期的課程，不僅課時增多了，而且知識點難度也增加大了，導致后期學生對高等數學的學習產生恐懼心理，失去了學習的興趣[3]。

1.學習觀念要轉變

很多學生在大學的學習中還是抱著被動接受的觀念，習慣于滿堂灌的上課方式，在上課過程中不善于思考。所以，在高等數學的第一課上，改變這種學習觀念才能為以后的學習打下堅實穩固基礎。

2.學習方式和方法的改變

信息的高速發展，給我們的生活、學習帶來諸多便利，但同時我們也不能忽視便利的同時所帶來的負面影響，比如諸多搜題APP的出現進一步削弱了學生學習過程中的獨立思考能力。另外，在教學中筆者還深深體會到，剛進大學的大一新生在學習過程中過分的依賴于老師，比如現在教師上課大多都會建立一個班級群（如QQ群、微信群、釘釘群、學習通等）以方便遇到不可抗拒的因素進行線上教學或傳達消息或作為師生消除物理空間的限制進行學習上的交流。可是，我們發現大多數學生在群里都是隨手一拍把問題圖片傳到群里，然后艾特任課老師讓給解決，而圖片上沒有體現學生的任何有自己思考的痕跡，哪怕把自己錯誤的解決過程寫在問題下面，這樣更便于老師掌握同學們學習的弱點在哪里，從而在教學過程中做出相應的改變。俗話說“授人以魚不如授人以漁”，所以學生們這種“管家式”“保姆式”的學習方式和不善于思考動手解決問題學習方法也是高等數學教學改革中面臨的一個問題。

3.教學模式老舊和教學方式單一

目前在大學里高等數學的教學模式還是以老師講授為主，教學方式還是以板書為主，這種傳統的教學模式和教學方式盡管有著學習易于跟上老師的節奏和師生能有面對面的互動的優勢，但這種教學模式和教學方式會讓學生始終處于被動接受的狀態。這種傳統的教學模式和教學方式一方面無法實現和滿足學生的個性化學習、層次化學習和差異化學習；另一方面，目的性較強，一般就是按照教學進度安排完成教學任務以便讓學生完成考試和培養計劃中的學分要求，無法對學生的學習過程進行形成性評價，很難對學生做出綜合評價[4-5]。這種教學模式和教學方式所產生的不良后果是學生在課堂上很難有時間去思考，對知識的理解僅僅停留在老師的講解上，應付式的做課后習題，以至于學生們根本不理解高等數學真正的本質、概念和相關的應用。

4.教學內容相對乏味

高等數學的教學還大都以理論知識講解為主，這樣的教學內容易讓學生覺得枯燥、乏味，進而會產生一定的厭學心理和畏難情緒。我們知道高等數學在整個大學的課程體系中有著非常重要的地位，其基本理論、方法和思想為學生的后續學習提供了必要的基礎和重要的工具[6-7]。數學產生于人類生產發展的需要，現如今數學知識已經融入人類生活的各個方面。因此在教學過程中要注重對學生運用所學的理論知識解決生活中實際問題能力的培養，一方面豐富教學內容，另一方提升學生的學習興趣。

二、高等數學教學實踐中的幾點改革思路

教學改革不是一件容易且立竿見影的事情，基于教學實踐中高等數學課程教學中存在的問題，嘗試性給出如下的改革思路以供參考。

1.上好高等數學第一課

良好的開端是成功的一半。筆者認為上好高等數學課程的第一課很重要。我們不僅要講好高等數學的緒論，使學生整體上了解什么是高等數學，也要讓學生明白“我為什么要學高等數學”和“我學了高等數學有什么用”這兩個問題。同時，還要向學生強調要轉變學習觀念，改變學習方式和方法。

在中學的學習過程中，學生是在教師的指導下進行模仿和重復性的練習，且幾乎老師和學生天天見面，這樣一來學生有什么學習上的問題可以隨時問教師，長此以往，學生就在學習上嚴重的依賴于教師，沒有形成自主獨立思考學習的習慣。而大學的學習是在教師的指導下進行創新性學習。學生要充分理解教師課堂上講的重點和難點，并大量查找和認真思考才能完成教師布置的任務。盡管大學也是不容易的學習比較輕松，但想要學好高等數學課程。

高等數學的教學目標不與中學數學的教學目標不同，不只是讓學生會做題、會考試，而是注重教學能力的培養，如鍛煉學生邏輯思考能力、獨立分析問題能力，提高學生的動手操作能力，培養學生的創新能力。在高等數學第一課上，教師應該向學生強調不要延續中學的那套“被動式”“依賴式”的學習方式和方法，而要逐步適應“善于思考，樂于動手，敢于質疑”的自主學習方式和方法。在教學中，我們發現，很多同學問的問題只要稍加思考，動手翻翻課本，動手試著寫一寫就可解決，因此，教師，在高等數學第一課上要讓學生認識到“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”的道理。

2.優化教學模式和教學方式

傳統的教學模式和教學方式是以教師為中心，忽視了學生的主觀能動性，沒有過多地考慮學生們的感受，課堂上只是一味地講授教學計劃里安排的教學內容，使得傳統的教學模式不夠靈活，課堂氛圍不活躍，很難激發學生的學習興趣和熱情。伴隨著網絡、信息技術的快速發展，教育技術的發展也變得日新月異。

教學模式的優化對高等數學的教學改革是很有必要的。我們既要充分利用傳統線下教學模式的優勢，如學生和教師在同一個教師面對面授課，教師可以及時快速地得到學生的反饋，以便及時調整教學內容；同時，還要充分利用互聯網技術，如引入優質在線教學資源、MOOC課、“學習通”“雨課堂”等智慧學習工具。優化教學模式是一個長期的實踐過程，要統籌考慮方方面面，盡管現在有“翻轉課堂教學模式”“線上線下混合式教學模式”，但每個教學模式的實施最主要的成效還是看學生到底在這種教學模式下有沒有受益。也就是說，高等數學教學模式的優化要充分考慮學生的層次。

對于一些對數學知識要求比較高的專業（如機械工程、土木建筑等），教師可對這些專業的學生開展“小規模授課+翻轉課堂”的教學模式試點。小規模授課可以使授課教師充分掌握每個學生的學習情況，從而可在教學過程及時調節教學進度和教學內容。另外，小規模授課方便學生管理，可對學生進行分組教學，方便學生組內討論，培養學生的團隊協作能力，結合翻轉課堂，讓學生成為課堂的主角，充分發揮學生的主觀能動性，調動學生學習的積極性。

3.多渠道豐富教學內容

盡管高等數學是一門理論性較強的課程，但我們也要知道，高等數學的教學內容是人類智慧的結晶，其背后往往蘊含著豐富的文化內涵。在教學實踐中，我們可以做如下嘗試：

融入數學史和數學文化。這樣學生能夠清楚地了解這些知識點的來龍去脈，豐富高等數學的教學內容。例如，可以在講解微積分的知識點時先介紹數學發展史上的三次危機[8]，其中第二次數學危機就和微積分有關。簡單來說，就是當時的微積分的邏輯基礎還存在缺陷為此整個18世紀數學家們從不同的角度提出各自的方案，其中有一個方案是通過極限的方法為微積分提供論證，把極限概念作為微積分的基礎，為無窮小量的整個運算提供可靠的根據。與此同時，教師又可以順帶介紹一些數學家的勵志故事，既提高了學生的學習興趣，也增強了學生的學習信心。

融入數學建模。教師將數學建模的思想和方法融入高等數學的教學中，將充分發揮學生的主觀能動性，有利于提高學生發現問題、思考問題以及解決問題的能力，進而還可以培養學生的創新能力[9-10]。例如在講解微分方程的內容時，我們在講解完理論知識之后，可以再重點講解人口增長模型，通過問題的提出——模型的假設——模型的建立——模型的求解等過程，讓學生深入體會到高等數學中所學的理論知識是可以解決實際生活中的問題。與此同時，教師也向學生傳授了科學研究的方式和方法。

融入數學軟件。隨著互聯網技術和多媒體技術的發展及普及，高等數學的教學除了要求掌握好其基本的理論基礎知識，其廣泛的應用性對學生的計算能力也提出了較高的要求[11]。數學軟件的出現使以前繁雜的手工計算變得相對容易，目前高等數學的教學改革融入數學軟件進行輔助教學引起了廣泛的關注。數學軟件不僅具有強大的計算功能，還具有強大的符號計算和圖形可視化功能，使用數學軟件進行輔助教學可將高等數學課程中復雜和抽象的知識變得直觀和形象。例如，現在使用比較廣泛的數學軟件MATLAB，因其簡單易學且功能豐富，已被應用于高等數學的教學中[12-15]。在講解求解極限時，我們可以借助于MATLAB的符號計算功能作為學生做題結果的驗證，同時還可以通過作圖直觀地觀察極限的趨勢。我們給出如下例子，來感受一下MATLAB軟件在求解極限中的應用。

解 通過分析發現，這是非基本類型（∞0型）的未定式極限，通過使用取對數轉化將其轉換為基本類型再結合洛必達法則容易求出該極限為1。同時借助，MATLAB的符號計算功能很容易驗證該結果的正確性。為此，我們編寫如下的MATLAB程序。

將此代碼保存為Ex1.m的M文件，運行之后可以得出result=1。

另外，在講解高等數學空間曲面及其方程這一節的內容時，如果僅僅告訴學生這個方程對應的圖形就是課本上的樣子，學生也只能通過死記硬背來記憶這些知識。而如果引入MATLAB，讓學生通過繪圖將這個方程所對應的圖形繪制出來并借助于旋轉，可以使學生對這個方程所對應的圖形有深刻的理解。我們可以給出如下例子。

例2.繪制單位球面x2+y2+z2= 1在第一卦限的圖像。

解 要想繪制單位球面在第一卦限的圖像，需將球面方程參數化，通過控制相關參數的變化范圍來繪制出所要求的圖像。為此我們編寫如下的MATLAB程序。

將此代碼保存為Ex2.m的M文件，運行之后可得到圖1。

圖1 單位球面在第一卦限的圖像

在高等數學的教學中，微積分是其核心內容，在教學中發現，微分這個知識點同學們還是比較好接受理解的，而積分的這個知識點(作為微分的逆運算)往往講解起來學生接受和掌握起來比微分要難一些，因為積分的求解具有較高的靈活性，同學們必須經過適當地的訓練才能理解和掌握積分這個知識點。在教學中，我們也可以引入MATLAB來輔助同學們的積分的學習，這里以一道第一類曲線積分為例來體會一下MATLAB在積分求解中的應用。

解 按照第一類曲線積分的計算方法，我們不難得到上述的第一類曲線積分可轉化為下面的定積分的計算為此，我們使用MATLAB的符號計算功能可編寫如下的程序進行計算。

可見我們通過引入MATLAB進行高等數學教學，不僅可以增強同學們的學習興趣，提高教學效果，還可以增強同學們利用數學知識解決問題的能力。

改變高等數學課后作業布置的方式。傳統的教學模式下，每次上完課布置一些固定的習題讓學生在特定的時間做完，上交老師批改，返回學生之后在習題課上講解。這種作業布置方式隨著教學改革的不斷深入，其弊端也顯現出來，如內容陳舊單調、限制學生的主觀能動性等[16]。大學的培養更多的是一種能力的培養，如自主學習能力，創新能力等。在高等數學的作業布置方式上，我們更應該考慮到這些方面，比如可以結合如今的網絡，布置一些電子作業，學生提交即可看到結果，可以達到讓學生自我反思、自我思考甚至相互討論的目的，從而提高學生的學習積極性。另外，還可以適當地布置一些開放式、動手式的作業，比如可以讓學生自己動手總結每個章節的知識點，并在習題課上在課堂上進行講解，進而充分發揮學生的主觀能動性。

三、結語

高等數學是大學課程中一門重要的通識必修課，是學生學習后續專業課程的基礎。在新時期的教育教學改革中，高等數學的教學不僅僅是讓學生掌握高等數學的理論知識，而是讓學生將所學的理論知識作為工具，動手解決今后生活和工作中的實際問題。也就是說，高等數學的教學更多的是培養學生的發現問題、思考問題、分析問題、解決問題的能力。