一道解幾壓軸題的推廣與拓展

福建省福清第一中學 (350300) 葉誠理 林品玲

探索性的問題歷來倍受高考親睞，它有利于考查學生的思維品質和學習潛能；有利于培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力和創新意識．一個探索性問題，往往蘊含豐富的數學知識、性質，常是學習者探求一類問題的“窗戶”.本文以一道某地質檢解幾壓軸題為例，它的背后隱藏著圓錐曲線的一個美妙性質，以下是筆者對此問題的推廣與拓展.

1 試題引思，探尋問題本質

圖1

(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．求證：點M恒在橢圓C上.

經驗證，直線l恰為橢圓C的右準線，且點M恒在橢圓C上的性質不受橢圓方程中a,b取值的影響．

2 縱向推廣，歸納一般結論

上述試題研究的是一特殊橢圓的性質，根據特殊到一般的思想，可得：

3 逆向思考，猜想新的性質

根據探求猜想1的思路，可逆向思考，交換條件與結論，得：

其他圓錐曲線是否也具有類似猜想1、2的性質呢？

4 橫向聯系，類比相似性質

類比在解題中具有啟迪思維、搭建橋梁的重要作用，正如波利亞所說：“類比是一個偉大的引路人.”

猜想4 拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，準線交x軸于點N(準點)，若AB為垂直于x軸的一條動弦，則直線AF與BN的交點M必在拋物線C上．

在動弦不過焦點時，猜想3、4的逆命題也成立．其證明同猜想1、2，留給讀者完成．