例析運用切線不等式求解一類導數壓軸題

江西省上饒中學 (334000) 張 勇

點評：利用切線不等式ln(x+1)≤x，直接將一個不可求積的式子轉化為一個可求和的等比數列，題目難度一下子就降下來了.除了直接運用以外還可能會對這兩個切線不等式進行適當的簡單變形.

例4 (2017年全國新課標Ⅱ卷文)設函數f(x)=(1-x2)ex.(1)略;(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

圖1

解：易得f(x)在x=0處的切線方程為y=x+1，又當x≥0時，f′(x)=(-x2-2x+1)ex，f″(x)=(-x2-4x-1)ex<0，所以f(x)為上凸函數，顯然f(x)≤x+1，要使f(x)≤ax+1在x≥0時成立，則顯然a≥1.

圖2

下面證明:當x∈(-1,1)時，f(x)<2e(x+1).

圖3

點評：如圖3，此題的x1,x2,m三個變量之間的關系不是很明顯，很難用直接的消元法轉化為只含有一個變量的函數問題來求解.本題的關鍵是將其中一個零點x1進行放縮，將其用y=m與函數在x=-1處的切線交點的橫坐標來取代x1，從而起到化簡消元的作用，將題目轉化為只含有變量x2的一個不等式.此題與以上例題的本質并無區別，都是利用切線不等式，只不過這個是橫向使用.下面我們再來看一個雙向放縮的例子.

解：(1)易得a=b=1，過程略.

圖4

點評：如圖4，本題的難點依舊在于如何利用x1,x2,m的關系進行消元，轉化為含有一個變量的函數問題.此題的關鍵在于將x1和x2都進行放縮，用y=m與兩條切線的交點取代x1和x2.本題與例5屬于同一類，都是切線不等式的橫向運用.