尋根溯源 滲透文化 提升素養
——以探討教材習題中的“隱圓”微專題復習為例

何剛

四川省南充高級中學 623300

引言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》要求將數學史滲透在數學教學中，讓數學文化貫穿必修課程和選擇性必修課程，并提出發展數學文化這一理念，指出“數學文化要盡可能有機地結合高中數學課程的內容，注意闡明數學的產生和發展”，使學生“通過數學文化的學習，了解人類社會發展與數學發展的相互作用，認識數學發生、發展的必然規律，提高學習數學的興趣，加深對數學的理解，感受數學家的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神”［1］.可見，將數學史融入平日的數學教學過程，不僅能使學生的數學思維得以拓展、數學情感得以培養，還能更深層次地了解數學知識，更能發展數學文化，從而培養學生的核心素養.

然而，在現實的課堂中，一線數學教師雖然知道數學文化的重要性，但長期受應試教育的影響，導致部分數學教師對數學文化的內涵認識不足，在數學文化的理解上出現了片面化，認為數學文化在試卷中只不過是以文化素材的形式出現在一兩道試題中，不如多講一些例題更實在.

將數學文化與數學教學進行有機融合是數學文化與數學教育研究領域里的一項非常重要的工作，當下實際數學教學中，將數學文化融入數學課堂已成為一種得到了廣泛實踐并推崇的教學模式.但如何有效實現數學文化與數學教學的整合？如何使得基于數學文化視角的數學教學設計不流于形式，真正發揮數學文化在實際教學中的重要價值？

數學文化的含義

“文化”一詞，在《現代漢語詞典》中的解釋為：“人類在社會歷史發展過程中所創造的物質財富和精神財富的總和，特指精神財富，如文學、藝術、教育、科學等.”［2］

學者王新民、馬岷興在文章《新課程中“數學文化”的涵義詮釋》中認為：“數學文化是指人類在數學行為活動中所創造的物質產品和精神產品，其中物質產品是指數學命題、數學方法、數學問題和數學語言等知識性成分；而精神產品是指數學思想、數學意識、數學精神以及數學美等觀念性成分.”［3］

《普通高中數學課程標準（2017年版）》對數學文化做了如下的定義：“它指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動.”［1］由此人們知道數學文化是更高層次的觀念性因素，它以數學知識為依托，是數學教學的載體，因此數學文化有別于數學知識，教學中教師應該摒棄簡單粗暴的介紹式教學方式而使用融入式教學方式更適合.

數學文化教學的意義

1.滲透史料，激發學習興趣，促進深度思考

學生接觸到一個新知識或新概念時，疑惑最多的就是“為什么是那樣？”數學史可以幫助我們去追溯問題的來龍去脈、知識演變發展的過程，觸及問題的本質，讓學生體會到數學是自然的，知識的產生是水到渠成的，疑惑便順利解開；讓學生體驗深度思考，理解知識背后所蘊含的數學思想，激發學生濃厚的學習欲望.

2.滲透思想，促進思維發展，提升數學素養

探究數學對象的本質，提煉數學概念、命題的基本觀點，這些都離不開數學思想.領悟數學思想不僅是問題發現和提出的源泉，還是問題分析并解決的根本.數學教學過程是學生在教師的指導下通過數學思維活動，學習數學家的思維活動的成果，并發展數學思維能力的過程［4］.教學中教師以數學思想為魂，為學生創設時機去體驗“再發現、再創造”，經歷數學思維分析的過程，實現學生學習方式的轉變，將問題不斷深入、拓展，使其一般化，真正提升學生的數學學科素養.

3.優化學習，營造文化氛圍，實現有效課堂

教學中教師教什么？肯定是教材.教材凝聚著專家學者的心血和智慧，教材中的知識是有權威的，教材中的例題、習題都是精心打磨的，它們往往具有一定的背景，有些是外顯的，還有許多屬于內隱型的，需要教師用心挖掘這些豐富的數學文化資源.這樣可以理清知識的生長點，為學生能個性思考提供基礎，實現學生自主探究，能積極主動參與數學知識的建構.以數學文化為著眼點，在問題分析中，更利于師生、生生之間的合作交流，使得課堂氛圍充滿著積極互助、和諧民主的景象，實現有真正意義的有效課堂.

整合教材內容，開發文化資源

借助人類歷史的長河，我們理清了教材中許多概念、公式、定理的源流.現如今，許多一線教師也意識到借助史料可以幫助學生學習概念、公式、定理.事實上，在現用的教材中，課后習題的背景蘊含著豐富的數學文化資源，如何去開發挖掘？如何以高觀點的視角去聯系、看待問題？為了回答以上問題，筆者做了一點小小的嘗試——基于數學文化的實踐教學“隱圓”專題課，本文節選了課堂中的兩個重要環節.

環節1：拋磚引玉

師：同學們，這些年我們一起學過了圓，你能談談記憶中關于圓的知識嗎？在初中我們學過圓，定義讓我們了解了圓的一些幾何性質，如垂徑定理等；在高中我們學會了利用代數的方法去研究圓，得到了圓的標準方程和一般方程，以及弦長公式等.這節課我將和大家借助史料一起來探討高中教材課后習題中隱藏的圓，下面大家先來看一組題目：

（2）已知點A（0，0），B（1，1），點P滿足kPA·kPB=-1，求點P的軌跡方程.

（3）已知點A（0，0），B（1，1），點P滿足PA2+PB2=4，求點P的軌跡方程.

設計意圖：起始問題起點低，學生能迅速解決，此舉可讓學生積極地參與進來.事實上，題（1）、題（2）、題（3）、題（4）、題（5）均是學生平日見過的圓的呈現形式，是圓幾何形態的不同的代數表征.其中，題（1）的結論為：平面內，到定點的距離等于定長的點的集合是圓；題（2）的結論為：平面內，到兩個定點的斜率之積等于-1的點的集合是圓；題（3）的結論為：平面內，到兩個定點A，B的距離的平方和等于定值）的點的集合是圓；題（4）的結論為：平面內，與兩個定點A，B的向量的數量積等于定值）的點的集合是圓；題（5）的結論為：平面內，到兩個定點的距離之比等于定值λ（λ＞0且λ≠1）的點的集合是圓.

環節2：教材呈現

探究1：人教A版必修2教材習題4.1B組第2題：長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程.

第3題：已知動點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，求動點M的軌跡方程.

閱讀材料“用《幾何畫板》探究點的軌跡（圓）”中的例題：已知點P（2，0），Q（8，0），點M與點P的距離是它與點Q的距離的，用《幾何畫板》探究點M的軌跡，并給出軌跡的方程.

推廣：已知兩定點A，B的距離AB=k（k＞0），動點M到兩定點A，B的距離之比滿足=λ（λ＞0且λ≠1），則動點的軌跡是圓，圓心在直線AB上，半徑為且半徑是圓心到兩定點距離的比例中項.

設計意圖：學生利用解析法很快將上述問題得出了結果，并發現了題目的共同特征：軌跡都是圓.教師這時介紹亞歷山大時期的數學家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約公元前262年—前190年）的數學成就，并將此類圓命名為阿波羅尼奧斯圓（簡稱阿圓）.通過對阿圓的基本要素的探究學習，讓學生逐步積累如何發現、分析、解決問題的基本活動經驗，發展和提升學生的數學抽象、邏輯推理素養.

變式2：在△ABC中，c=2，3b2-a2=12，求△ABC面積的最大值.

設計意圖：揭示了阿圓問題的本質，讓學生認識到數學問題并非無源之水、無本之木［5］，通過對問題的變式練習幫助學生領悟到問題本質，同時讓學生學會通過整體聯系去處理某類共性問題，體會到題目只變其形不變其質，從而使學生掌握探究問題的一般思維和方法，發展學生的學科素養.

此問題將圓的“隱”，作為認識的起點，即探索的起點，在此基礎上形成軌跡意識，借助解析幾何的方法建立幾何圖形與代數表達式之間的對應.

探究2：人教A版必修5教材習題3.4B組第2題：如圖1所示，樹頂A離地面a m，樹上另一點B離地面b m，在離地面c m的C處看此樹，離此樹多遠時視角最大？

圖1

設計意圖：此問題的背景是數學史上著名的米勒問題.1471年，德國數學家米勒提出了一個十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長？即在地球上什么部位，可視角最大？抽象成數學問題（見圖2）：線段AB垂直于直線EF，垂足為O，在直線EF上任選C，使得∠ACB的值最大，求此時C的位置.

圖2

對于此問題，文［6］給出了幾何解法.我們知道，在水平直線上選擇點C，使得△ACB外接圓與水平直線剛好相切于點C，切點就是視角最大的點（見圖3）.根據切割線定理可知，OC2=OA·OB.利用上述結論就可以“秒殺”教材中的問題：過點C作水平線的平行線交直線AB于點O（見圖4），易知OB=b-c，OA=a-c，則OC2=（a-c）（b-c），即

圖3

圖4

變式：如圖5所示，已知在以角B為鈍角的△ABC中，AB=3，=12，當角C最大時，求△ABC的面積.

圖5

圖6

圖7

設計意圖：整合教材中的習題與本節課的主題，借助整體思想，讓學生體會到知識之間存在關聯，從而形成知識網絡，而不是一個個毫不相關且孤立的知識點；讓學生體會到數學知識的產生具有其必要性和合理性，每一個知識都是有存在價值的.將數學史有效融入課堂，不是簡單敘述數學故事，更不是機械地挪用數學史.首先，教師自身要透徹地理解數學史，根據實際教學的需要在組織教學環節時挑選出適合學生學習的史料，讓學生經歷知識的生成過程，明白看似簡單題目的背后所蘊含的豐富的數學史，從中理解圓的意義，并體會數學家艱苦探索、鍥而不舍的鉆研精神，將數學史的價值最大程度地發揮出來.

在人教A版數學必修2中的主題為“畫法幾何與蒙日” 的閱讀與思考中提到了法國數學家蒙日，作為畫法幾何的創始人，他在其著作《畫法幾何學》中提到：“過橢圓外一點向橢圓做兩條互相垂直的切線，該點在同一圓上.”

探究3：（2014年高考廣東卷文理科第20題）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的一個焦點為，離心率為

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

將此問題進行推廣，得到一般化結論，如下：若動點P（x0，y0）是橢圓=1（a＞b＞0）外一點，且點P到橢圓的兩條切線相互垂直，則點P的軌跡方程為a2+b2.

該結論中的圓就是熟悉的蒙日圓.

設計意圖：本探究的設計基于兩條線，一條是基本知識的明線：以蒙日圓為背景提出問題，得出蒙日圓的定義；另一條是基本思想方法的暗線：先提出幾何問題，然后借助代數方法去研究，從而揭示出解析幾何的實質.在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中指出：“邏輯推理是指從一些事物和命題出發，依據規則推導其他命題的素養.”［1］本探究借助類比推理發現一般性結論，然后經過代數運算驗證結論，這一過程讓學生的邏輯推理素養與數學運算素養得到提升.

結束語

1.對知識網絡的梳理

專題課的核心就是幫助學生厘清本專題所涉及的知識與方法，其目的是讓學生站在不同的角度去分析、理解同一問題，從而實現認識一類問題全面化、系統化，并在此基礎上深入探索與其相關的知識結構，形成知識網絡，擴展這個網絡的廣度與深度，最終讓學生在其頭腦中構建解決這一類問題清晰的思路.本節課的內容，實際上就是常見的“隱圓”，說“隱”一方面是因為它源于教材中的課后習題、閱讀材料；一方面體現在作為幾何圖形的圓用代數特征去表達；更重要的是每個圓背后還隱藏著豐富的數學史.這使得以圓為中心的這張知識網絡結構圖更具濃烈的人文氣息.

2.合理展現數學史，構建靈動課堂

本節課通過有關圓的數學史的引入，重新組織了知識點之間的聯系，穿插了數學史中比較重要的幾個關于圓的概念，使學生在有著生動豐富的數學史背景的課堂中學習，仿佛置身于數學歷史的長河中，在課堂上引起了不小的轟動，學生驚嘆到：看似一道簡單題目的背后卻隱含著一個個以數學家名字命名的圓，使學生經歷了對圓概念的延伸和發展過程，符合學生的認知規律，激發了學生的學習動機.生動豐富的數學史背景，不但能使學生更深層次地去理解圓的概念，還能從數學史中感受到數學家們的科學精神.正如人們常說：“靈動的數學課堂需要數學史的點綴.”