重視解題反思 落實核心素養

朱清波

廣東省廣州市執信中學 510080

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出，學科核心素養是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力.在教學過程中，教師必須與學生產生深度對話，學生不但要在課堂上正確理解知識點，還要在課后通過解題和反思對原有知識點獲得更深層次的認知或拓展，兩者并行發展，才能有效促進學生學科素養的全面和諧發展.

但在日常教學活動中，許多教師經常會自我感覺課堂效果良好，結果利用測評才發現學生對知識點的掌握情況比預想差了很多，學生在解題中采用的方法很多都是生搬硬套的，解出來的過程甚至有死記硬背的痕跡，大量的反復練習也只能起到事倍功半的效果，容易讓學生喪失數學學習樂趣.這種低效的教學行為通常存在以下幾個特征：首先是教師不重視課堂問題解決思路的生成，在有限時間內為追求課程進度而忽略了“解題中應有的思考彎路和笨拙手段”，快速進入“標準答案”的規則算法；其次是教師想當然地設計解答過程，把自身對問題的反復思考、精心提煉直接灌輸給學生，即未能按照學生的真實認知過程考慮，未理會學生的實際認知困惑；還有就是師生的解題思維缺乏連貫性，沒有認清例題的價值，無法挖掘隱藏在知識背后的深刻思想等.上述教學行為既不利于學生積累解題經驗，又阻礙其解題反思意識的形成.

解題是數學學習過程中非常重要的環節，而解題反思能力，是指師生完成解題后，針對自己的錯誤理解或遇到的有代表性的問題進行反思的能力.具體表現在反思解題過程、對其中涉及的知識更深入地認知、對數學思想方法進行歸納總結、對不同的解題思路進行比較并優化、改進解題過程等，數學家波利亞說道：“如果你希望從自己的努力中取得最大的收獲，就要從已經解決了的問題中找出那些對處理將來的問題可能有用的特征.”注重解題反思，在解決問題的過程中產生最大價值，是教師在課堂上需要關注的重點.本文以高中數學課堂的幾個即時生成性問題為例，對解題反思教學所需要關注的幾個要點進行相關闡述.

反思問題背景，探究一般性質

數學解題過程，是一個從簡單到煩瑣且逐步過渡的過程，困住學生的很多問題涉及的知識點通常較多，綜合性較強，造成他們不能在有限的時間內挑選合適的思路去處理問題.在解題反思的過程中，反思能力應該逐漸從特殊的結論朝著一般化規律進行發展與提升，這樣才能有效提高學生的數學理性思維能力，真正幫助學生用數學頭腦思考問題.

例1已知曲線C：y=x3－3x+5，過點P（4，1）且與曲線C相切的直線的方程為________.

本題容易出現的問題是，大部分學生缺乏圖像的直觀認識，只考慮到P為切點的情況，因此只得到了其中的一條切線（方程為y=3x－11），導致答案不完整.事實上，本題還有一種情況，如圖1所示，當P不是切點時，仍然存在一條直線滿足題意.針對此題，一般的處理辦法是先求出切線的一般形式，再代入已知點的坐標進行計算，過程如下：

圖1

例1包含了P是否為切點這兩種情況，相對而言，P不是切點的情況下的計算量很大，且求出來的切點Q也是獨立存在的，看不出P與Q有什么關聯.課堂上，教師可以引導學生去思考：相切是相交的一種極限狀態，我們能否先探究相交時，三個交點坐標之間的關系？這個探究思路與一元二次結構是完全一致的：

如圖2所示，若三次函數y=ax3+bx2+cx+d和直線y=kx+m相交于三個點A，B，C，設其橫坐標分別為x1，x2，x3.由ax3+bx2+cx+d=kx+m，得ax3+bx2+（c-k）x+dm=0；又a（x-x1）（x-x2）（x-x3）=0，對比系數可知x1+x2+x3=-

圖2

于是就找到了三個交點橫坐標之間的關系（即一元三次方程的韋達定理），顯然該結論在直線與曲線相切時也是成立的，故在例1中有4+x0+x0=0，解得x0=-2.這樣就能快速地找到另一個切點Q的橫坐標了，從而得到相應的切線方程.該反思過程本質上體現了求解一元三次函數切線方程的一般方法.

反思解題困惑，拓展認知邊界

在解題過程中，面對一個新的問題，我們會從不同角度來面對它，有些學生習慣代數計算，也有學生喜歡從幾何角度切入思考，這是思維發散性的一種體現，任何課堂上始終會有不同的思維方式并行，如果最終各種處理方式得到的結果不一致，就會讓部分學生產生即時性困惑，但教師在課堂上如果能即時抓住學生的這種生成性問題進而反思探究，相信對學生思維品質的提升會有很大的幫助.

例2已知橢圓中心在原點且以坐標軸為對稱軸，若其過點，求橢圓的方程.

大部分學生會先進行分類討論，然后利用待定系數法求解：先設橢圓的方程為=1（a＞b＞0），代入A（2，3），后求解；再設橢圓的方程為=1（a＞b＞0），代入A（2，3），后又計算一次；最后得出只有一個答案=1.這種解決方法（代數法）會給利用圖形切入解題的學生一個很大的困惑：為什么只有一個答案？從圖像來看（如圖3所示），似乎有兩個答案，因此通過代數法運算出來的結果并不能讓這些學生信服.在這里，教師可以引導學生去反思探究：條件只有三個點的坐標（含原點），這個信息能否確定橢圓是“橫向的”還是“豎向的”？最終可以得出本題隱藏著橢圓的一個基本性質：“橢圓上的點從短軸端點向長軸端點運動時，到中心的距離是逐漸增大的（如圖4所示）.”這樣的即時性探究活動能讓學生對橢圓的幾何性質的理解更有深度.

圖3

圖4

反思解題過程，領悟解法技巧

在一些問題解答的過程中，因為各種原因并沒有詳細闡述相關思路的生成方式，而缺乏該環節會導致解法突兀和碎片化，導致學生不能順暢理解.課堂上教師可以引導學生分析解法背后隱含的規律，將缺失的思考環節補齊，讓學生真正理解解題思路.

例3如圖5所示，一座小島A到海岸線上最近的P點的距離是2 km，從P點沿海岸正東12 km處有一個城鎮B.假設一個人駕駛的小船的平均速度為3 km/h，步行的平均速度為5 km/h，時間t（單位：h）表示此人從小島到城鎮的時間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸C處到P點的距離.當x取何值時，此人從小島到城鎮花費的時間最少？

圖5

參考答案會讓學生的頭腦產生一個很大的疑問：答案中的u，v的換元設置無疑起到了最大的作用，但這兩個結構在本題中并沒有實際的幾何意義，引入它們的主要作用就是為了解決時間t的最小值問題，但為什么能想到這樣的換元方式？經過反思，可以引導學生進行如下探究：

通過上述分析，學生便能領悟參考答案背后隱藏的奧妙，遇到類似的結構求最值時，都可以采用同樣的換元方式.經歷了上述的反思探究過程，學生對解答方法的理解更加深刻，最終達到“做一題，會一類”的目標.

反思解題方法，培養知識遷移能力

教師在教學過程中，要讓學生學習的同時獲得自主認知和自主思考的能力，對于問題除了有思路會做外，還要思考是否存在更好的方法來處理，即通過過程的繁雜來反思解題過程是否科學合理，通過優美的結論再去反思解題過程是否走了彎路，能否轉化到另一個簡潔的方向，等等，真正將解決問題的核心“鑰匙”交還給學生，讓學生自主思考并掌握解題方法和技巧，從而有效提高學生的解題能力.

例4如圖6所示，已知斜率為2且不過原點的直線和圓x2+y2=1相交于A，B兩點，以x軸非負半軸為始邊，OA為終邊的角為α，OB為終邊的角為β，證明：sin（α+β）是定值.

圖6

從題干中幾個關鍵的字眼進行分析，考慮到x2+y2=1為單位圓，梳理了點的橫、縱坐標以及角度的正、余弦之間的對應關系后，自然就會利用解析幾何的常規手法求解.證明過程如下：

完成上述檢驗式的證明過程后，學生的頭腦中同樣會冒出一個疑問：為什么直線（斜率一定）在平行移動、兩個交點在變化的情況下所產生的結果卻是一個定值呢？這個優美的結論最初又是怎么被發現的？

通過反思可以發現，動直線的斜率確定著直線的“方向”，利用圓的垂徑定理可知另一條與其垂直的直線的“方向”也就被確定了，于是就有如下思考：

如圖7所示，過圓心O作OM⊥AB，交AB于M，利用直線垂直和等腰三角形OAB的性質，可得直線OM的斜率kOM=-

圖7

當然，即使α，β均不在區間（0，2π）內，即均相差2π的整數倍時，射線OM的終邊位置仍然不會發生改變，結論也不會變.通過對問題的再回顧和反思，將原問題轉化成了一個三角求值問題.另外，繼續探究和反思可以發現，本題中的cos（α+β），tan（α+β）也是定值，這樣學生對這類問題也就有了更深層次的理解.

通過對上述幾個即時性生成問題的反思探究，不難看出解題反思是數學學習過程不可缺少的環節.學生通過反思可以明確自身是否掌握了相關知識點，并借此深化理解所學的數學知識；借助反思可以在解題過程中結合自身對知識的掌握程度探尋全新的解題思路，達到化繁為簡的目的.教師在解題教學中，一定要不斷進行總結和反思，結合問題優化解題教學，激發學生創造思維的能力，還應積極引導學生進行解題反思，提升學生的解題能力和數學核心素養，提高學科教學效率和教學質量.