回歸問題本質，碰撞思維火花
——以“超越函數的極值估計問題”為例

郭 立

(南京市金陵中學，江蘇南京，210000)

《全日制義務教育數學課程標準(2022年版)》中明確地指出：“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗.”本文以研究“超越函數的極值估計問題”為例，一起探討如何引領學生進行“自主探究”和“合作交流”.

1 復習回顧，引入問題

在高三復習階段，我們在函數問題學習時，用導數求極值是其中的基本問題，在函數問題解決中也起到了重要作用，超越函數的極值、最值問題也是高考中?？嫉膬热莺碗y點.

在之前《導數》專題的學習中，我們通過導函數零點來進一步求解函數極值，如果導數零點可求，函數極值易得，如果導數零點不可求，函數的極值一般不可求，下面通過例1來研究超越函數的極值估計問題：

當x∈(0，x0)，f′(x)<0，f(x)單減，當x∈(x0，+∞)，f′(x)>0，f(x)單增.

通過本例可以看到解決超越函數的極值估計有幾個關鍵步驟：

①說明存在極值點x0，確定零點方程f′(x0)=0；

②對f(x0)表達式進行轉化；

③結合f(x0)表達式和x0所在區間對極值進行估計.

為了得到f(x0)想要的估計范圍，我們需要對x0有對應的估計.理論上，可以將極值大小估算到任意想要的精度.如何把握精度的“度”？粗了無法得到需要的精度，過度精確也沒必要，使得運算更復雜，做到“精準打擊”.

我們回想一下，為什么要進行極值點代換進行消去超越式化簡，因為表達式簡單，我們方便研究.可是有時候，我們在對x0更精確估計的時候遇到了困難，比如無法細化了，細化的過程中遇到了計算上的難度，那如何對極值估計有新的手段？

2 補充變式，打破套路

當常用方法不適用時，需要另辟蹊徑，除了調整x0所在區間，f(x0)的估計還有一個關鍵步驟就是轉化f(x0)表達式，也可以從這個角度去處理.

將例題和變式兩種做法對比一下，讓學生自己大膽嘗試，不怕犯錯，在活動中產生學習經驗，更具有課程價值.變式從證明結果來看直接匹配，而且過程更簡單，用到的方法是f(x0)化簡的時候可以進行局部代換(只代換lnx)，甚至不代換(直接利用原函數f(x)單調性)，也可以完成極值估計.

我們不能被套路“套住”，我們發現超越函數的極值估計問題實際是x0，f′(x0)，f(x0)三者關系的研究，最終本質是函數的取值范圍，需要解決兩個問題——表達式是什么？變量的范圍是什么？這樣便得到極值的所在區間.

3 趁熱打鐵，總結提升

此類問題在高考和?？碱}中出現過很多次，比如2017年全國高考題中：

分析:先判斷存在性，確定x0滿足2x0-2-lnx0=0.

證明：由(1)知f(x)=x2-x-xlnx，f′(x)=2x-2-lnx，

且當x∈(0，x0)時，h(x)>0；

當x∈(x0， 1)時，h(x)<0；當x∈(1，+∞)時，h(x)>0，

因為f′(x)=h(x)，所以x=x0是f(x)的唯一極大值點，

由f′(x0)=0得lnx0=2(x0-1)，故f(x0)=x0(1-x0)，

在2022年南京市二?？荚囍械?1題同樣出現了一道超越函數的極值估計的題目，在掌握了以上方法后，這道題的第二問會有很多種方法.

(1) 求函數f(x)的單調區間；

(2) 記函數g(x)在(0，+∞)上的最小值為m，證明：e

解：(1)由f(x)=(x2-x+1)ex-3，得f′(x)=(x2+x)ex.令f′(x)=0，得x=-1或x=0.

當x∈(-∞，-1)∪(0，+∞)時，f′(x)>0；當x∈(-1，0)時，f′(x)<0.

f(x)的單調遞增區間為(-∞，-1)，(0，+∞)，單調遞減區間為(-1， 0).

所以，在(0，x0)上，f(x)<0，即g′(x)<0，故g(x)遞減；在(x0，+∞)上，f(x)>0，即g′(x)>0，故g(x)遞增.

一方面，證明m<3：

(**).

法二：因為g(x)在(0，x0)上遞減，且x0∈(1， 2)，所以m=g(x0)

另一方面，證明m>e：

【實際上x0≈1.05，需要將隱零點范圍縮小至x0∈(1， 1.377)才能完成解題.

因為x0∈(1， 2)，且函數y=xex在(1， 2)上遞增，所以m=x0ex0>e.

這道題做法很多，實際上是因為超越函數的極值估計可操作的部分很多，極值f(x0)的表達式可以怎么轉化？極值點x0所在的區間應該怎么調整？而解決這兩個問題的前提是要先分析題目中需要證明的范圍，做到有的放矢，有效解題，才可以精準打擊.

在高三復習課中，一味地灌輸、教授，題海戰術無法調動學生的積極性，反而會讓學生喪失在數學學習中最有意思的一個環節，讓學生勇于嘗試，在解法“碰壁”中獲取學習經驗不失為一種更有效的學習方式.