利用數(shù)形結(jié)合求解不同類型的二次函數(shù)問題探索

顧 健

(江蘇省海門市東洲國際學(xué)校，江蘇海門,226100)

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思想方法，數(shù)與形的巧妙結(jié)合往往能使問題迎刃而解.誠如，著名數(shù)學(xué)家華羅庚所言：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.本文談?wù)劺脭?shù)形結(jié)合思想求解各種二次函數(shù)問題.

1 巧用數(shù)形結(jié)合求殘缺型拋物線問題

“殘缺型拋物線”是初中階段常見的二次函數(shù)問題，考查難度不高，但需要同學(xué)們根據(jù)題目條件和圖象發(fā)現(xiàn)正確的取值，本文所指的“殘缺型拋物線”又叫不完整的拋物線.可以以拋物線的軸對稱性和已知條件為依據(jù)獲得解題思路，進(jìn)而順利求解.總的來說是根據(jù)已知條件表示出殘缺的二次函數(shù)圖象，再結(jié)合拋物線的特點(diǎn)解答相關(guān)問題.

圖1

例1如圖1所示，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-3， 0)，x=-1是該函數(shù)的對稱軸，且有以下四個結(jié)論：①b2>4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a

A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③

思考：本題是要判斷二次函數(shù)的三個系數(shù)之間的關(guān)系，已知函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的開口方向，圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)等判斷三者之間的關(guān)系，進(jìn)而得到正確答案.

解：由圖象可得：圖象頂點(diǎn)位于第二象限，且開口向下，

則拋物線一定和橫坐標(biāo)軸具有兩個交點(diǎn)，

故Δ=b2-4ac>0成立，即①正確；

∵頂點(diǎn)位于第二象限，且已知x=-1時，a-b+c>0，∴③不正確；

∵拋物線的圖象開口向下，∴a<0，

又∵b=2a，∴5a<2a，即5a

因此正確答案為B選項(xiàng).

圖2

練習(xí)1：如圖2所示，是拋物線y=ax2+bx+c的一部分，其對稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點(diǎn)為B(3， 0)，則根據(jù)圖象可得，不等式ax2+bx+c>0的解集是.

思考：本題依舊屬于“殘缺型拋物線”，則根據(jù)縱坐標(biāo)的右邊推測出左邊，根據(jù)拋物線開口向上，以及拋物線的對稱性分析其解集取值范圍，通過點(diǎn)A的坐標(biāo)值確定其解集.

解：由圖象可得：曲線與x軸有兩個公共點(diǎn)，x=1是其對稱軸，拋物線的開口方向向上，

∴對稱軸右邊的交點(diǎn)B與對稱軸距離等于2，

∴拋物線和x軸的交點(diǎn)A與對稱軸距離也等于2，∴(-1， 0)為A點(diǎn)的坐標(biāo)，

故不等式ax2+bx+c>0的解集為x<-1或x>3.

2 巧用數(shù)形結(jié)合求二次函數(shù)圖象的“四點(diǎn)”“五距”

圖3

(1) 求該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2) 若該二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB長度的最小值.

(2) 假設(shè)A(x1， 0)，B(x2， 0)，

∴x1、x2是方程ax2-bx+b=0的兩根，

圖4

練習(xí)2：如圖4，二次函數(shù)y=(x+m)2+k-m2的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，分別是A(x1， 0)，B(x2， 0)，與y軸的交點(diǎn)為C，設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P：

(1) 與圓P相交時，求y軸的另一個交點(diǎn)D的坐標(biāo)；

思考：本題主要考查一元二次方程的求根公式、根于系數(shù)的關(guān)系等，知識點(diǎn)較多，綜合性葉強(qiáng)，如何表示OD和AB的長是本題的解題關(guān)鍵.

解：(1)根據(jù)題意易求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，k)，

由題設(shè)可知，x1、x2是方程(x+m)2+k-m2=0即x2+2mx+k=0的兩根，

∴x1+x2=-2m，x1x2=k，

∵D作為⊙P與y軸的另一個交點(diǎn)，且⊙P的兩條相交弦是AB、CD，

因此可以設(shè)點(diǎn)O為交點(diǎn)，連接DB，

∴△AOC∽△DOB，

由題意可得，在y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)C，

因此，y軸的正半軸上存在點(diǎn)D，

∴(0， 1)表示D的坐標(biāo)；

(2) ∵AB⊥CD，AB剛好是⊙P的一條直徑，

∴關(guān)于點(diǎn)O對稱是C、D的對稱點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(0，-1)，即k=-1，

解之得：m=-2.(m=2舍去).

3 巧用數(shù)形結(jié)合解二次函數(shù)的探究應(yīng)用問題

圖5

關(guān)于二次函數(shù)的探究應(yīng)用問題主要包括兩個方面，一方面是二次函數(shù)與體育相關(guān)的問題，例如以球類為主要載體考查二次函數(shù)問題，增強(qiáng)學(xué)生將知識與生活相聯(lián)系；另一方面是二次函數(shù)與經(jīng)濟(jì)相關(guān)的問題，此類型問題在一元二次方程和二次函數(shù)相聯(lián)系的基礎(chǔ)上運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)去解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些問題.這類型問題的解答要注意結(jié)合實(shí)際情況確定自變量的取值范圍，進(jìn)而求解.

(1) 求小球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的解析式；

(2) 小剛需要再向前跑多少米才能搶到落點(diǎn)D？

思考：本題可以通過建立函數(shù)模型求解，根據(jù)題意得到A點(diǎn)的坐標(biāo)和最高點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式求出拋物線的關(guān)系式；(2)求小球第一次落地點(diǎn)與小剛的距離，等價于求這條拋物線和橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

解：(1)如圖所示，設(shè)第一次落地時拋物線的表達(dá)式為y=a(x-6)2+4，

由題意可得：當(dāng)x=0是，y=1，

∴C的坐標(biāo)為(13， 0)，

∴BD=23-6=17 m.

練習(xí)3：如圖6所示是某種水果的批發(fā)單價和批發(fā)量對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系圖象，在下圖的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象，并之處金額在上面范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)列的該種水果.

圖6

思路：根據(jù)題意得到相關(guān)方程組并確定自變量的取值，最后根據(jù)圖象分析得到所求即可.

圖7

圖8

函數(shù)圖象如圖9所示，當(dāng)以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果時，資金金額應(yīng)處于240

圖9

對于一些錯綜復(fù)雜的問題，利用數(shù)形結(jié)合思想能夠使得問題變得形象直觀，解題思路更加清晰，一目了然.解答二次函數(shù)問題時靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合不僅可以增強(qiáng)對二次函數(shù)的基本性質(zhì)與圖象的理解，更能夠讓學(xué)生將數(shù)和形建立關(guān)系，使學(xué)生對二次函數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣.